Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Взаимосвязанные решения для fi уравнения типа уравнения
(7.10.22), очевидно, должны определяться с точностью до первого порядка
по малому параметру ез, как это было в случае продольных волн в
предыдущем параграфе. Это означает, что множитель при е3 должен быть
конечным, однако этот множитель имеет в знаменателе выражение (fi2o-
fiio), которое может обратиться в нуль при q = qo в точке возможного
пересечения ветвей йю и fi2o, отвечающих решениям (7.10.20)j эта точка
определяет так называемую область пересечения. Поэтому рассмотрение этой
области с использованием разложений по малому параметру здесь непригодно;
этот факт иллюстрируется расхождением ветвей в окрестности точки (q0,
fi0). Вычисляя соответствующие взаимосвязанные решения Q,Y и fin в первом
порядке по е3 в окрестности точки (qo, fio). получаем
fi2 - fi2j " 4<?01 С81 Оезу'2,
или
1 Ql - Q" 1= ~ 2 {q°lQo) 1 Cg 1 (^12' (?-10-24)
т. e. = fii - Qn = О (Ve3 )• Соответствующие дисперсионные кривые
изображены на рис. 7.10.1. Из рис. 7.10.1(a) видно, что при q <С ро ветви
I и II соответствуют поляритонной и акустической ветвям, а при q > q0
ситуация изменяется на обратную.
Можно увидеть и следующий экспериментально установленный факт. При q ¦<
qo с увеличением q групповая скорость акустических волн монотонно
уменьшается, чтобы выйти на значение отщепившейся поляритонной групповой
скорости, а групповая скорость нижней оптической ветви монотонно
увеличивается, чтобы в итоге совпасть с групповой скоростью акустической
ветви. Эти результаты согласуются с экспериментальными результатами,
полученными совместной техникой спектроскопии Бриллюэна и Рамана (см.
[Fleury, Lazay, 1971;
§ 7.10. Взаимосвязанные объемные волны в сегнетоэлектрич. кристаллах 499
Rimai et al., 1968]). Если ограничиться учетом роли скорости света в
вакууме и слабого влияния градиентов поляризации, то рис. 7.10.1(a) на
практике можно обоснованно заменить более схематическим рис. 7.10.1(b). В
заключение скажем, что если проследить происхождение эффекта расхождения,
представленного в (7.10.24), обусловленного главным образом
(a) lb)
Рис. 7.10.1. (а) Дисперсионные кривые для поперечных мод с учетом
взаимодействия (оР = о-Ps); 1,2 - смешанные акустико-поляритонные ветви;
(Ь) упрощенный рисунок (а) (уравнения Максвелла в приближении
электростатики, градиенты поляризации не учитываются).
наличием материальной постоянной С8 и влиянием начальной поляризации
через ез, то можно увидеть, что постоянная С8 отвечает за эффект
пьезоэлектричества, наведенного величиной оР. Поэтому наблюдаемые нами
здесь явления резонанса и расхождения ветвей являются прямыми следствиями
нарушения симметрии начальным полем 0Р.
Эту же задачу о распространении волн можно рассмотреть и при
ортогональной ориентации, для которой
0Р • s = 0. (7.10.25)
Как и раньше, амплитуды е и Б исключаются из уравнений, описывающих
распространение волн. Оставшиеся в уравнениях амплитуды и и р
представляются в виде
йг = и ¦ s, рг = р • s,
йх = (и • 0Р)/0Р, р1 = (р • 0Р)/оР, (7.10.26)
й = и • (s X оР)/оР, Р = Р- (sXoPVoP-
32*
500 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
Положим также
Q = <о/<о0; q = ck/щ, i?0 = е1<Д Q|0 = v2 + e2(72, v = <o,/(D0>
йзо==ёг<?2> Qeo = <72, e? = e2 + (Ciejdg) s3, s^. = 8, -(-
C5e2;
(7.10.27)
(7.10.28)
здесь (c)j и "о определены соотношениями (7.10.10) и (7.10.18).
Обозначим через &2о(д) и Q2o(<7) положительные корни би-
квадратного уравнения
D, (Q, ?) a Q* - Q2 (1 + <?2) + <?2 (?2 + Щд*) = 0,
а через Q70 (д) и Qgo (д) - положительные корни биквадратного уравнения
D2 (Q, ?) S3 Q4 - Q2 (1 + Я2) + д2 (I + 8'<?2) = 0,
i = (2С4 + С7 0Р2)/(1 + 2 С4 + С7 оР2). (7.10.29)
где
В результате с учетом условия (7.10.25) получим следующие два матричных
уравнения для скалярных амплитуд, определенных соотношениями (7.10.26):
(q20 - Q2) "2
- &4<Г 0 igC6 (0Р/сш0)
е4?~ - dE (Q^q Q2) 2iC8<j (0Р/ссй0) 0
0 2/С8(? (оР/ссо0) (йд0 Q2) О
_Г~ г'7Се (oP/Cffio) (Q2 ~ 72) 0 0 - eD 1 <Q> 7L
гй2 1
Рг Л-L
L /5х
X
X
= 10],
(7,10.30)
(Цо-Ю 0 0 dED2{ Q
1Й][;]-м. (т.0.3.)
Искомое дисперсионное уравнение находится путем приравнивания нулю
детерминантов матрицы коэффициентов в (7.10.30) и (7.10.31). Если
взаимодействием между различными амплитудами пренебрегается (что
эквивалентно приравниванию нулю всех недиагональных элементов матрицы
коэффициентов в
(7.10.32)
§ 7.10. Взаимосвязанные объемные волны в сегнетоэлектрич. кристаллах 501
(7.10.30)), то получаются решения
Q2 == й20 (?) при йг ф 0,
й2 = Й20 (?) при рг Ф 0,
й2 = й|0 (?) при й± ф 0,
Й20 (?) = Й20 (?) = 0 при о*- Ф 0.
Амплитуды же й и р расщепляются благодаря самой форме уравнения
(7.10.31), так что мы имеем здёсь точные решения:
й2 = й|,(?), при й Ф 0,
Й20 и Й20(?) при рФ 0. (7.10.33)
Из простого рассмотрения системы (7.10.30) очевидно, что существует
возможность взаимодействия между продольными акустической и верхней
оптической ветвями. Однако этот эффект выходит за рамки применимости
