Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
возбужденной ударной волной, и устройства преобразования
электромеханической энергии при сжатии кристалла ударной волной [Doran,
1968; Graham, 1972; Иванов и др., 1968].
Наиболее полное исследование образования и распространения ударных волн в
одномерном случае в рамках описания
526 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрика и керамики
-Упругий диэлектрический диск
-СоЬирающий заряженный электрод
I(t)
V(t)
данной главы с учетом градиентов поляризации имеется в работах [Collet,
1981, 1982]. Трехмерный случай рассматривался*, но только для слабых
разрывов в работе [Dost et al., 1984]. Однако в большинстве работ не
учитываются эффекты дисперсии (влияние градиентов поляризации) и инерция
поляризации; к таким работам относятся статьи [Amos, Chen, 1978; Chen,
Реегсу, 1979; Collet, 1984] и т. д.
Здесь мы рассмотрим распространение ударных волн в электроупругой
керамике на примере задачи о преобразовании
электрической энергии при сжатии образца из керамики ударной волной под
действием осевой нагрузки - задачи, которая привлекла внимание многих
авторов [Chen et al., 1976; Halpin,. 1966; Lysne, Bartel, 1975; Lysne,
Percival, 1975; Maugin, Collet, Pouget, 1985]. Мы будем следовать
последней работе.
Рассматривается экспериментальная установка, относящаяся к типу с так
называемой осевой модой (рис. 7.13.1). Керамический диск вставлен
полностью между двумя электродами, входящими в простой электрический
контур с сопротивлением R. Динамическая нагрузка механической природы
(удар,, напряжение) действует на одну сторону (называемую излучающей)
диска; возникший сигнал проходит сквозь диск и отражается от другой
стороны (называемой приемной). Записывается напряжение V(t), которое в
каждый момент времени характеризует картину электрического состояния,
индуцированного электрической волной, движущейся в материале. Форма этой
зависимости очень сильно зависит от характеристик внешнего электрического
контура.
Основные кинематические соотношения имеют следующий вид. Так как мы
предполагаем учесть нелинейные эффекты, то нам нужно различать
материальную и текущую конфигурации. Пусть X - материальная (лагранжева)
координата вдоль оси, перпендикулярной диску (рис. 7.13.1). Для
одномерных движений уравнения (2.2.1), (2.2.4), (2.3.1), (2.2.3) и
Защитная кольцевая нагрузка _ i -
Рис. 7.13.1. Диэлектрический диск и схема электрического контура с
сопротивлением.
§ 7.13. Ударные волны в упругих ионных кристаллах
527
(2.2.23) принимают вид
х = %(Х, t) = X + u(X, t),
" д9е , , ди dSe ди dF dv ,n 10 1V
+1F- v==-dT=:'W' ~дГ^Ж' (7-13Л>
F~l = (F)~\ I = F, J~l = F~\ S = F- l =
где и - поле перемещений, а 5 - лагранжева деформация1).
Пусть Е, D и Р - компоненты вдоль оси X электрического поля,
электрической индукции и поляризации в расчете на единицу массы в момент
t в текущей конфигурации. Будем рассматривать случай квазиэлектростатики.
Электрическое поле и индукция в отсчетной конфигурации вводятся в
соответствии с формулами (3.2.89) 4 и (3.2.89) 2, т. е.
(r) = /F~1D, & = EF. (7.13.2)
С учетом (7.13.1) на самом деле-имеем
(c) = Ц (c) = (1+S)D. (7.13.3)
При пренебрежении влияния градиентов поляризации и инерции полевые
величины @ и 3) составляют термодинамическую пару точно так же, как в
нелинейной теории упругости составляют термодинамическую пару тензор
напряжений Пиолы - Кирхгофа Т и градиент F. Мы имеем следующие
интегральные балансные уравнения:
х,
А 5 0рvdX = T(X2, t)-T(Xu t), х,
о = (r)(4 0-(r)(4 0.
X 2 Х2
V(t) = J -2fcdX=- J ddX - RI(/),
X, X,
где (r) = -ду/дХ] уравнения (7.13.5) и (7.13.6) выражают закон Гаусса и
условие подключения системы к внешнему электрическому контуру. Здесь ср -
квазиэлектростатический потенциал, R - сопротивление внешнего
электрического контура и / (t)-величина тока, текущего через этот контур
согласно элементарной теории электричества. Уравнения
(7.13.4)
(7.13.5)
(7.13.6)
iy Обозначение изменено, чтобы избежать путаницы с электрическим полем.
528 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
(7.13.4) и (7.13.5) приводят к локальным уравнениям
ор4г=1г ЛРИ *.<*<** <7-13-7)
д(r)/дХ = 0 при Х{<Х<Х2, (7.13.8)
поэтому индукция (c) зависит только от времени. Пусть А - площадь
собирающего (приемного) электрода, тогда величина тока равна
I (t) = А дЪ/di. (7.13.9)
Для замыкания системы уравнений (7.13.7) - (7.13.9) нужно задать
определяющие уравнения. Если известна функция для внутренней энергии
единицы объема 2 в отсчетной конфигурации, то мы можем принять два
следующих термодинамических допустимых определяющих уравнения:
"=-ж- <7-13Л0>
Например, для керамики типа PZT 65/35 функция 2 имеет
вид
2 = у2"? (S2 + 2/3C,S3 + y2C2S4) - h (DS -f q&S) +
+ >Ш(r)2+72/(c)4); (7.13.11)
здесь g7 - классический коэффициент упругости, Сг и С2 - коэффициенты
упругости более высокого порядка, h - пьезоэлектрический коэффициент, р -
обратная диэлектрическая проницаемость, коэффициент f характеризует
