Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
разработаны рядом авторов [Anderson, 1960; Cochran, 1960; Boul-keroua,
1985; Pouget, Askar, Maugin, 1986a, b].
Следуя указанным авторам, рассмотрим, например, случай
сегнетоэлектрических кристаллов с молекулярной группой типа KNO3;
рассмотрим простую схему моделирования одномерной цепочкой из заряженных
точек, каждая из которых снабжена микроскопическим постоянным диполем,
повернутым на бесконечно малый угол (рис. 7.9.1); учитывая упругие силы
между точками и электростатические взаимодействия между соседними
зарядами и диполями, в длинноволновом приближении в квазиэлектростатике
можно вывести систему континуальных
§ 7.9. Линеаризованные уравнения для сегнетоэлектрич. кристаллов 493
уравнений следующего вида [Pouget, Askar, Maugin, 1986b]: ори* = C\{V2ux,
opiiy = CxV2"y + t\Vp, (7.9.50)
dEp = e + KV2P - IP - x\Vuy\
здесь V=d/dx- оператор градиента вдоль цепочки, их - продольное упругое
перемещение, иу - поперечное упругое перемещение, р - бесконечно малое
возмущение электрической
Рис. 7.9.1. Простая модель одномерной моноатомной решетки для упругих
сегнетоэлектрических кристаллов с молекулярной группой (например, KNOj,
NaN02).
поляризации и е - электрическое поле. Уравнения (7.9.50) имеют тот же
вид, что и уравнения (7.9.46) и (7.9.47), однако входящие в них
коэффициенты Сц и С± (коэффициенты упругости), % (обратная
восприимчивость), К (связанная с градиентами поляризации) и ц
(электромеханическое взаимодействие) можно вычислить из микроскопической
модели. Например, для нитрита калия KN03 в случае, когда начальная
объемная поляризация 0Р = 0.11 Кл/м и направлена вдоль оси х имеем
[Pouget, Askar, Maugin, 1986а]
С и = 5.62 • 1010 Н/м2, Ci = 3.2 • 10ю Н/м2,
К= 1.03 • 10"9 Нм4/Кл2, х = 5.48 • 109 Нм2/Кл2,
т) = 2.273 • Ю10 Н/Кл, dE = 7.61 • 10"16 кг • м/Кл2.
Задачу о распространении объемных волн можно рассмот-
реть и непосредственно при помощи дискретной модели, из которой были
получены уравнения (7.9.50). Найденные при этом результаты согласуются с
результатами, которые будут получены в следующем параграфе (очевидно, они
применимы только для длинных и средних волн). Разработаны также и более
сложные модели решеток двухатомного типа [Pouget, Askar, Maugin 1986а] и
существенно трехмерные модели (например, для NaN02 [Boulkeroua, 1985]).
494 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрика и керамики
§ 7.10. Взаимосвязанные объемные волны в сегнетоэлектрических кристаллах
А. Объемные моды при отсутствии диссипации
Достаточно полное исследование электроакустических объемных волн в
упругих сегнетоэлектриках можно найти в работе [Pouget, Maugin, 1980].
Здесь же мы просто сформулируем некоторые результаты, чтобы дать
представление об этом предмете.
Рассматриваются малые зависящие от времени решения
S? (х, /) = {и, р, е, Ь}, (7.10.1)
имеющие вид плоских гармонических волн
0 = "•*]}¦ (7 Ш 2)
k = fes, | s | = 1, n=kcjiо;
здесь k - волновое число, со - круговая частота и п - коэффициент
преломления. Решения вида (7.10.2) далее подставляются в уравнения
(7.9.46) - (7.9.48), из которых выброшены диссипативные эффекты и
тепловые взаимодействия. Рассмотрим так называемую продольную ориентацию,
для которой
0P=oPs; (7.10.3)
исключив из полученной системы уравнений амплитуды е и b и введя
коэффициенты Da по формулам
Z^Q-HQ + Cs-QoP2,
^2 - + (2С3 + Q + С5 + С8) 0Р2 + 0Р2Сп,
Д3 = С9 + С120Р2,
D4 - Сб + 2 С8 + С10 оР2!
(7.10.4) ^5 = Cl4 + Cl7 оР2>
D6 = С i3 + (2Cj5 + С16) о Р2 + С is о Р4, получим следующую систему из
двух векторных уравнений:
{k2 [?>i - 0Р2/(1 - п2)\ - оР(r)2} и +
+ k2[D2 - n20P2/( 1 - n2)] (u- s) s -f- ikoP qP [2C8 -(1 - /г2Г']р - -
k2D3 op (p • s) s + ik [D4 + n2j( 1 - n2)] oPoP (p • s) s = 0, (7.10.5)
ik [2C8 - (1 - n2fl] 0Pu + {k2D3 + ik [n2l{ 1 - n2) + Dt] оP} X X (u • s)
s - [2C40p + k2Db + op (1 - n2)-1 - dEсо2] p-
- [k2D6 + 0pC7 оP - oP"2/U - "2)1 (P • s) s = 0. (7.10.6)
§ 7.10. Взаимосвязанные объемные волны в сегнетоэлектрич. кристаллах 495
Можно ввести следующие бесконечно малые параметры еа:
4 = (с, + с2)/0 р,
е, == (С] + С2)/0рс2 == с|/с2, е2 = (С[3 + GHyopc2dE, (7.10.7) S3 =
0Р2/о9с2, е4 = С9/оРС2 -\idE.
Параметр 8j. характеризует влияние эффектов, связанных с продольными
акустическими волнами, по сравнению с эффектами электромагнитных волн.
Величина cL есть не что иное, как скорость классической продольной
упругой волны; параметр 8[ обычно имеет порядок 10-11-10-10. Параметр г2
характеризует величину скорости распространения волн при больших
оптических волновых числах. Этот параметр связан с компонентами тензора
взаимодействия 06цы и имеет порядок 10-12-10~и (величина dE имеет порядок
10~23 кг2/Кл2). Параметр е3 связан с начальной поляризацией. Для
известных значений спонтанной поляризации в сегнетоэлектриках типа ВаТЮз
параметр е3 равен по порядку величины 10-23-10~22. Наконец, параметр е,"
связан с начальной величиной поля взаимодействия оЕ и, как считается,
равен по порядку величины 10-17-К)-18.
