Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
решетке и добавлением поправки от потенциальной энергии ионов,
обусловленной границей кристалла.
Предположим, следуя работам [Benson, Yun, 1967; Askar et al., 1970], что
эта добавочная энергия состоит из двух частей. Первая часть - это работа,
которую нужно совершить, чтобы передвинуть часть решетки на одну сторону
поверхности раздела с сохранением остальной части решетки в ее
равновесной конфигурации. Вторая составляющая энергии выражает энергию
релаксации остальной части решетки при ее деформации и поляризации при
переходе к новой равновесной конфигурации. Вычисление этой добавочной
энергии проведено в работе [Askar et al., 1970]. Обозначим через Д7* и
Ч'0- потенциальные энергии Фв и Фс, но рассчитанные для конечной решетки,
тогда изменение полной потенциальной энергии конечной решетки
представляется в виде
^ = Ч^ + (7.4.62).
§ 7.4. Линейная теория ионных кристаллов
463
Здесь все слагаемые считаются записанными в приближении решеточной волны.
Вернувшись к модели с одним ионом для галогенов щелочных металлов,
разложим все функции k в ряд по степеням k в выражении (7.4.62) около
точки k = 0 (см.
(7.4.53)). В этой процедуре удерживаются только члены с W и первыми
градиентами U и W. Для длинных акустических волн амплитуды перемещений
задаются в виде
В результате электронная поляризация оказывается пропорциональной
относительному перемещению сердцевины и оболочки атома. Так как в
разложение входят градиенты W, а значит и w, то, очевидно, что градиенты
поляризации входят в число параметров состояния. Теперь проводится
предельный переход, соответствующий переходу к длинноволновому
приближению, при этом суммирование заменяется интегрированием по объемам
и поверхностям. Поверхностный интеграл преобразуется в объемный; в
результате для потенциальной энергии объема В диэлектрической решетки в
рамках макроскопического описания найдено выражение
где (случай кубической симметрии с центром симметрии)
U (1) - U (2) - u, W (2) = w, а Р принимает вид (ср. с (7.4.58))
Р " (Y2e/До) w.
(7.4.63)
(7.4.64)
здесь
ур [В) = Ч0 {В) + Е(В)- ?/етр (В); ЗД)= J T0da,
(7.4.65)
(7.4.66)
дВ
(7.4.67)
в
Е{В)=
(7.4.68)
в
2 = 'kCukiCijeki + lhaijPiPj -j-
(7.4.69)
(7.4.70)
all = (2rl/Y^)(KAi + Bil),
Cijkl ~ Г0 3 "I" ^1 Cijkl)'
bmi = (rim [(*Ai + V Фи + пф1 = (У2еу\вт-г^2ст1).
(7.4.71)
(7.4.72)
(7.4.73)
(7.4.74)
464 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
Здесь Ч^о - поверхностная энергия, зависящая от формы границы дВ и типа
рассматриваемой решетки, но не от деформации и поляризации. Поэтому
энергия Ч^ существует даже в начальном состоянии, когда все полевые
переменные в односвязной области В обращаются в нуль. Следовательно, с
феноменологической точки зрения основной интерес представляет изменение
энергии по сравнению с исходным состоянием
Ё(В) = ЧГ (В) - Чг0(В) = Е(В)~ t/emp(В). (7.4.75)
Соответствующий гамильтониан можно записать в виде
Н (Еа) = К (В) - Е (В) + t/emf (Е3 - В), (7.4.76)
где К (В) с учетом (7.4.50) не содержит слагаемого с инерцией
поляризации. Следовательно, вариационный принцип на основе (7.4.76) для
кубических кристаллов с центральной симметрией приведет к линейному
варианту (7;3.1) и к статической
Таблица 7.4.2. Материальные постоянные для галогенов щелочных металлов -
I
Го, 10-8 смО) -Ьо (ЮЦ . днн-см/кА^ bn bl2 bn brr
104 ДНН'СМ4/КЛ^ ЙЧ
Nal 3.23 1.26 0.712 7-10 1 0.356 0.356
NaCl 2.81 1.44 0.688 -2-10 , 0.344 0.344
Kl 3.53 1.15 1.110 -31 ¦ 10 , 0.555 0.555
КС1 3.14 1.29 1.200 -32 • 10 0.600 0.600
(i) По работе [Born, Huang, 1954].
(ii) По работе [Askar et al., 1970].
линейной форме (7.3.3). Кроме того, уравнения (7.4.70) - (7.4.74)
позволяют вычислить материальные коэффициенты, входящие в материальные
тензоры, так как компоненты скалярных и тензорных величин К2, Btj, B.jkl,
B'ijkl и с1]Ы можно вычислить из микроскопических величин или определить
экспериментально (табл. 7.4.2-7.4.3).
В приведенных формулах L обозначает центр оболочки атома, расположенной
на свободной поверхности, и m(L) = = n,-(L; l) = n, (L;2) - единичная
нормаль к границе L-й ячейки. В выражение (7.4.69) не вошли материальные
тензоры нечетного порядка вследствие предполагаемой центральной
симметрии. Поэтому в выражении для е нет линейного члена, но это никак не
сказывается на общности результата. В работах [Askar, Lee, 1974; Fisher-
Hjalmars, 1981] предложены способы улучшения решеточных моделей.
§ 7.4. Линейная теория ионных кристаллов
465
Подводя итоги, скажем, что длинноволновое приближение динамики решеток
ионных кристаллов на основе модели оболочка- сердцевина снова приводит к
основным полевым уравнениям линейной теории упругих диэлектриков с
градиентами поляризации в числе основных параметров. Кроме того, такой
Таблица 7.4.3. Материальные постоянные для галогенов щелочных металлов -
II
a (I0l9)(iii), дин-см2/Кл2 d.i *2 4" Cn Cn c"
107 днн-см/Кл^'О 1012 днн/см2 flv)
Nal 1.37 3.81 -1.51 -2.10 0.359 0.071 0.072
