Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
диссипативные полевые величины линейны по своим обобщенным скоростям. Тем
не менее эти зависимости факти-й чески остаются квазилинейными в том
смысле, что коэффи-й циенты предполагаемых линейных форм могут все еще
зависеть от переменных множества SPR. Таким образом, считаем, что
Skl - Жklmn (9s*р) Erl + s&klm (9Рр) Дм, (7.3.84)
DLEK = ~ %kl G?r) nL + %KLM (^) Elm, (7.3.85)
dQk = -^kl(9'r)Gl; (7.3.86)
материальные тензорные коэффициенты Jf klmn, ^klm, *8kl, $klm и Жкь имеют
следующие свойства симметрии (без потери общности):
ЖKLMN = Ж (KL) (MN) = ЖMNKL,
<&klm = s4-(kl)m, $ klm = $ к )Ш)> (7.3.87)
<8 KL = *8 (KL), ЖKL = Ж (KL).
Слагаемые, перекрестные с соотношением для теплопроводности, здесь
отброшены. Неравенство (7.3.70) с учетом (7.3.78) и (7.3.84)-(7.3.86)
принимает вид
ЖKLMnEklEmn + *8KL^-K^L + {y&KLM $MKl) Ekl^-M +
+ $~WklGkGl> 0. (7.3.88)
Для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы матрица Ж kl была
неотрицательно определенной и чтобы элементы матриц Ж klmn, *8kl, s&klm и
$mkl удовлетворяли помимо соотношений взаимности Онзагера определенной
системе неравенств, которую мы не будем здесь приводить.
Определяющие уравнения с учетом сделанных замечаний и предложенных
упрощений можно переписать в следующем виде:
ц = -9-'д21дв, (7.3.89)
Ткi ~ xi, L ^^ ^KLMN ^MN Пм j .
(7.3.90)
= - X*, , (9>p) + <8kl (9>r) nL -
- $klm (& р) Ёш + $kl (^)rij, (7.3.91)
L(r)Ki = XLtt-^-(yR), (7.3.92)
LK
Qk = -^kl{9?p)Gl, (7.3.93)
I § 7.3. Нелинейные полевые и определяющие уравнения 449
здесь Е = ?(^'л). Заметим, что вся система из полученных определяющих
уравнений, достаточно общая для предполагаемых нами исследований,
является инвариантной относительно системы отсчета или объективной, так
как все определяющие уравнения построены в материальной формулировке.
Отметим также, что до сих пор не предполагалось каких-либо определенных
свойств симметрии у материала. В уравнении (7.3.91) мы также учли
линейный по П член для гироскопической составляющей GLE. Чтобы условие
(7.3.79) выполнялось для любого ненулевого П, необходимо и достаточно
условия антисимметричности тензора $KL, т. е.
Zkl^-Zlk. (7.3.94)
Определяющие уравнения в пространственной системе отсчета. Определяющее
уравнение (7.3.91) уже записано в пространственной системе отсчета. То же
можно сделать и для уравнений (7.3.90), (7.3.92) и (7.3.93), если
обратить ряд опре-| делений, т. е.
| tEi=r'XuKjlu %i=rxxUKL(r)Ki, ql=J~lxi,KQK. (7.3.95)
Подставив величины (7.3.90) и (7.3.92) в соотношения (7.3.95) 1,2,
I а полученные выражения и выражение (7.3.91)-' в (7.3.27), найдем в
результате нелинейное определяющее уравнение для тензора напряжений Коши
t
t)i = J 1 j-Ч, lxu к klmn(&д)-?'млг+'^кьмО?'д)Пмj -
- РЛ, tni ^^ ^^ р) Ёмы +
+ '3KL(9>R)Tl(<?*)}, (7.3.96)
а также
% = rlXL, ixp к ~ (^д), Ц1 = - Г\ кхи LXKL (<?*) О,,, LK (7.3.97)
На этом заканчивается представление нелинейных определяющих уравнений в
общей форме!). Осталось рассмотреть влияние конкретных свойств симметрии
материала.
*> В работе [Chowdhury, Glockner, 1976] приведены нелинейные
недиссипативные определяющие уравнения, выраженные через чисто
пространственные характеристики деформаций.
29 Ж. Можен
450 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики § 7.4.
Линейная теория ионных кристаллов
А. Общие уравнения j
Здесь мы рассмотрим априори линейную теорию упругих j диэлектриков с
градиентами поляризации в числе параметров ; состояния в пренебрежении
тепловыми и другими диссипатив- : ными эффектами. Понятие линейности
предполагает процедуру линеаризации относительно некоторого заданного
состояния, т. е. считаются заданными определенные значения основных
полевых величин, в частности, если мы ограничиваемся рамками
квазиэлектростатики, то
S(x, t) = {x = %(X, t), я -л (X, t), Е = Е(х, t); р = р (X, 0}.
(7.4.1)
Естественное начальное состояние - это такое состояние, в котором нет
деформаций и электромагнитных полей. В этом случае решение (7.4.1) имеет
вид
S0 = {x = X, я = 0, Е = 0; р = р0>; (7.4.2)
здесь ро - заданная плотность однородного вещества. Очевидно, что такой
случай можно рассмотреть для подавляющего большинства ионных кристаллов.
О теории, уравнения которой получаются линеаризацией относительно
состояния (7.4.2), говорят как об априори линейной. (Пример линеаризации
относительно неестественного состояния будет дан в § 7.4 для случая
сегне-тоэлектриков.) Состояние, возмущенное относительно So, описывается
решением
S? = {u(x, t), я(х, /), Е (х, 0; Р(х, t)}, (7.4.3)
где все величины и, я и Е малы в определенном смысле, например |u|/L -
бесконечно малая, если L - характерная макроскопическая длина
рассматриваемой материальной системы; |Е|/?0 - бесконечно малая, если Ер
- характерная напряженность электрического поля, которая может появиться
в электрической системе, и т. д. Теория деформаций (см. § 2.2) позволяет
реализовать предположения (7.4.2) и (7.4.3) так, что мы можем считать
