Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
имеющих центральной симметрии
Система индексов для С i jkl hik
(ij), (kl) 11 22 33 23, 32 31, 13 12, 21
1 2 3 4 5 6
Система индексов для &mkl
(ij), (kl) 11 22 33 23 32 31 13 12 . 21
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Система индексов для dklil
(kl) 11 22 33 23 32 31 13 12 21
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(ij) 11 22 33 23, 32 31 13 12 , 21
1 2 3 4 5 6
Здесь же мы будем следовать работе [AskaP et al., 1970]. В этой работе
используется так называемая схема оболочка - сердце-вина, предложенная
Диком и Оверхаузером [Dick, Overhauser, 1958] в теории динамики решеток.
Они предложили методы, позволяющие выразить материальные коэффициенты
линейной континуальной теории через характеристики решетки. Получен-
о Общепринятым руководством по этому предмету все еще остается книга
[Born, Huang, 1954], а также [Maradudin et al., 1971].
§ 7.4. Линейная теория ионных кристаллов 457
ные численные значения находятся в хорошем согласии с результатами
дискретной модели [Benson, Yun, 1967] и экспериментальными данными. Этот
успех полностью оправдывает наш предстоящий краткий экскурс в область
физики, которая по самой своей природе лежит за рамками континуального
подхода.
Схема модели. Модель оболочка - сердцевина - это так называемая
одноионная поляризующаяся модель для ионных кристаллов. Поляризующийся
ион представляется "оболочечной моделью". В этой модели самая внешняя
электронная оболочка рассматривается как абсолютно твердая сферическая
оболочка, которая может перемещаться относительно массивной ионной
сердцевины атома, сердцевина атома состоит из ядра и внутренних
электронных оболочек, таким образом, появляется возможность поляризации.
Положения атома в сложной решетке, состоящей из N различных атомов,
задаются в виде
Х(Р;а) = Х(Р) + Х(а), (7.4.39)
где р указывает на центр оболочки, Х(а)-радиус-вектор, проведенный от
центра оболочки к любому из различных атомов внутри единичной ячейки.
Таким образом, а принимает значения от 1 до N, а Х(а= 1) = 0. Вектор,
соединяющий два узла решетки, равен
X(Р - р'; а-<х') = Х(р; а)-Х(р'; а') = - X (Р'- Р; а'-а).
(7.4.40)
Компоненты векторов X обозначаются через Хь, k = 1, 2, 3. Электрический
заряд атома а равен
Zae = (Xa + Ya)e, (7.4.41)
где Хае и Yae обозначают заряды сердцевины и оболочки атома а.
соответственно, е - заряд электрона. Для диэлектрика
?za = 0. (7.4.42)
Перед деформацией центры сердцевины и оболочки атома
занимают одну и ту же точку Х(р,а). После деформации их по-
ложения будут соответствовать
х1 (Р; a) = X (Р; а) + U (Р; а) (центр сердцевины), (7.4.43) х2(Р; а) = X
(Р; a)+U(P; a) + W(P; а) (центр оболочки); (7.4.44)
*> Обозначения даются по книге [Born, Huang, 1954] лишь с отличием, что
греческие и латинские буквы поменялись местами.
458 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
здеь U - перемещение сердцевины и W - перемещение центра оболочки
относительно сердцевины (рис. 7.4.1).
Рис. 7.4.1. Модель динамики решеток.
а а
х-(п- 1)а у-па x=(n+^)a
Рис. 7.4.2. Моноатомная решетка из оболочек, моделирующих атомы [Mind-
lin, 1969]; а - внутриатомное взаимодействие сердцевина - оболочка; р -
междуатомное взаимодействие сердцевина - сердцевина; у - междуатомное
взаимодействие сердцевина - оболочка; б - междуатомное взаимодействие
оболочка - оболочка.
В модели сердцевина - оболочка потенциальная энергия состоит из следующих
энергий взаимодействия различных ионов:
(a) сердцевина - сердцевина (обозначается через ($ на рис. 7.4.2 и
7.4.3).
(b) оболочка - оболочка (б);
(c) оболочка - сердцевина (у);
§ 7.4. Линейная теория ионных кристаллов
459
(d) Энергия взаимодействия сердцевины со своей собственной оболочкой
(а).
Если мы рассматриваем взаимодействие только двух частиц, то
соответствующая потенциальная энергия Ф, инвариантная относительно
твердотельных перемещений (т. е. переносов и вра-
*
Рис. 7.4.3. Двухатомная решетка из оболочек, моделирующих атомы типа NaCl
[Mindlin, 1972].
щений как твердого тела), может быть представлена в следующей форме:
Ф = у ^ {Фдг (r i) + Фг (/2) + Ф т' {г 3) + Ф$ {г 4)} +
+ /C"W(p; a)- W(p; a), (7.4.45)
0, a, 0', a'
где
r, = I x1 (P; a) - x1 (P'; a') |,
r2 = I xl (P; ") - x2 (P'; "') I.
r3 = 1 x2 (P: a) - x1 (p'; a') I, Г4 = I x2 (P; a) - x2 (p'; a') |.
(7.4.46)
Штрих при знаке суммы в (7.4.45) означает, что суммирование по (р, а) =
(р', а') может быть исключено. Потенциалы Ф", Фа, Фт и Фг-энергии
взаимодействий между различными элементами ионов. Скаляр Ка- упругая
постоянная, характеризующая интенсивность взаимодействия между
сердцевиной и
460 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрика и керамики
оболочкой одного и того же атома. Если Аа - поляризуемость
соответствующего иона, то
Ка = Y2ae2/Aa. (7.4.47)
Схема действия различных взаимодействий дана на рис. 7.4.2 и 7.4.3 для
так называемой моноатомной решетки из атомов с модельной оболочкой (такая
решетка обычно представляется из одного ряда атомов, расположенных в
