Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Heft = h + Вл + ajii + po1 div J, (6.6.46)
?em = Af0Dh,
где Cjlkt, (Tjikl, E*ik, C*jt и а будут выписаны явно в полном виде
только для изотропного случая. Также отметим, что 6х-ва-риация условия
намагниченности до насыщения (6.2.2) дает
ц • d = 0, (6.6.47)
так что возмущения магнитного спина всегда ортогональны направлению
начальной намагниченности- Аналогичная процедура линеаризации в случае
упругих антиферромагнетиков, в которых плотность намагниченности является
векторной суммой двух независимых намагниченностей подрешеток из
магнитных спинов, проведена в работе [Sioke-Rainaldy, Maugin, 1983].
Вариация граничных условий (6.6.23), (6.6.24) и (6.6.10) проводится так
же, как и в § 2.15. Результирующие выражения приводятся ниже только для
изотропного случая. Итак, с использованием уравнений (6.4.31) и (6.4.32)
после довольна продолжительных выкладок находим
Во = - ЬМ0, tm = tfifi + t^dt = toir (6.6.48)
c°i!kl = Xebifikl + Pe(6./A/ + djfiik) + "1 {6iidkdl + bkldidi) +
~b °2 (^jkdidl "b ^jldidk "b ^lkd!dl "b ^ildldk) "b + a3djdidkdl = {kt) =
C°k[ji, (6.6.49)
f)ik = К ["V* + f (Vi + V/) + d W AI=ft* (6-6-50)
4 = bbik + №А = 4/. (6.6.51)
Xjp = MjpKdjdp = (6.6.52)
здесь начальные напряжения (tut2), модули упругости (Яе, \ie, "1, a2,
аз), пьезомагнитные коэффициенты (g., /, d), постоянные магнитной
анизотропии (|3, Ъ) и обменные модули (Я, Я), относящиеся к начальной
конфигурации Жи определяются соотношениями
^1 - ро ('ал")о ' ^2= pofXo(l^')0-
§ 6.6. Уравнения, линеаризованные относительно ферромагнитной фазы 381
Легко установить, что тензоры, определенные выражениями (6.6.47) -
(6.6.52), имеют осевую симметрию относительно направления единичного
вектора d. Следовательно, начальное состояние X; придает материалу,
идеально изотропному во всех других отношениях, осевую симметрию. Теперь
выскажем замечание о коэффициентах g, f и d. Если бы мы линеаризовали
уравнения относительно состояния с нулевой намагниченностью, то эти
коэффициенты были бы равны нулю, так как линейное изотропное тело не
проявляет никаких свойств пьезомагнетизма. В случае же, когда имеет место
соотношение (6.6.50), взглянув на термодинамические определения (6.6.53)
и список инвариантов (6.4.31), мы обнаруживаем, что, например, /
получается при помощи частной производной энергии по инварианту, который
имеет первый порядок по деформациям и второй - по намагниченности.
Сравнив этот результат с выражением (6.4.36), где компоненты тензора
магнитострикции BKLMN можно получить таким же образом, можно заключить,
что коэффициенты g, f и d - фактически коэффициенты пьезомагнетизма (для
возмущений), созданные магнитострикцией.
Аналогичным Образом находим
а ~ Ро м0 = *' Х0^ЛУЯ0,
В = - [М0 + p0P(d • ц) + gM0(V • U) + М0(Р + dvl)D{d • u)] d -
- p0bp - M0 [fDu + (b + /) V (d (D • u))],
Cjikl - + fie (bjlAll + bjfitk) + "1 (bjidkdi + bkidjdi) +
+ Щ (bjkdtdi + djidtdk + bikdjdi + biidjdk) +
+ a3djdidkdi = C(tt)(ki) = Ckiii, (6.6.54) Сцы = Щ [(^ + /) ^tidjdk f
(&ikdjdl + bjkdldl) + t2bjidjdk],
= Po^o [(/ + b) {b.kdt + 6tid,)] = E'ljk,
C]i = P0K [(1 + g) 6г/ + (P + d\ig) dtdt] - C*lp
382
Гл. 6. Упругие ферромагнетики
где
К = К~М1 + *1' ?. = IV ct^c^ + gM2, (6655) a2 = a2 + /M2, "з - a3 + (Р +
d\il) Щ.
Теперь можно показать, что уравнения (6.6.45) принимают вид
Ро^- M0Dh + С, V (V • u) + C2V2u + C3V [D (u • d)] +
+ C5D2u + [C4V2 (u • d) + C6D (V • u) + C7D2 (u • d)] d +
+ PoM0 [fD\i -f (1 -f g) V (d • p)] + p0M0 [/ (V • p)] +
+ (P + dp2)?>(d-p)d, (6,6.56)
& = vM X {h - p0Sp - M0 [fDu + (b + /) V (d • u)] +
+ р0яу2ц + Ро^Я, (6.6.57)
где мы положили
С\ = Хе -|- \ie, С2 === ре, С3 = а2 "Ь t<i,
C4 = a2+(6 + f)M2, С5-а2 + 6М2,
C6=a, + a2-/M2 = a, + a2 + gM2, с7=йз>
Ь = Ь + %~\ %0 = Л40/Я0.
Уравнения (6-6.56), (6.6.57) совместно с (6.6.38) образуют полную систему
уравнений, описывающую распределение и и р. в объеме материала.
Линеаризация граничных условий на dJ?o приводит к следующим соотношениям
[Maugin, Hakmi, 1985]:
le (V • u) n0 + p,eV (по • и) + ре (по • V) n + Й,7) (d • и) п0 +
+ С4 (п0 • V) (d • и) d + f ,По (По • V) (п" • и) + р0М0 (Ь + /) (n0 ~р)
d - - '/гРо^оп (no' I1) "Ь V2Mо [Dj>] п0 + (п0 • d) {Й! (V • и) d -(-a2Du
йзD (и • d) d 12 [(V • и) + (n0 • V) (n0 • и)] d +
+ p0M0 (b + rfp2) (d • p) d + p0M0 (b + /) p} = Г, (6.6.59)
-|^- + (l-A)nodDp + rIPo==0, (6.6.60)
[-Щ - "/, t [noiMoa - р0бЦ (n0 • Po)] + Pono ' P = 0, (6.6.61)
[fl = 0; (6.6.62)
§ 6.7. Магнитоакустический резонанс 383
здесь мы ввели "магнитостатический" потенциал ф по формуле
h = - Чф\ (6.6.63)
введение такого потенциала допускается первым уравнением
(6.6.38); Моп и M0f - нормальная и тангенциальная компоненты М0 на
границе. Величина nod = По-d, и мы также положили
Я = 1 - (Я/Я),
h = t\ + '/г-ОД", t2 = t2 -j" ЬМо,
h = h + ti~ Ч*ща, к = Ие + /, - ЧгМЪ, (6.6.64)
+ &2 = a2 + fM*, а3 = а3 + (Р + 2^Ро);
здесь | - параметр, который изменяется от нуля до бесконечности в
зависимости от типа граничного условия для магнитного спина (ср.
