Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
§ 6.6. Уравнения, линеаризованные относительно ферромагнитной фазы 377"
чивания. В явном виде (см. уравнение (1.18.19))
Н(о' = Н0 - Ж • М0, (6.6.29>
где Ж - тензор размагничивания тела 3S.
Обсуждение уравнений (6.6.28), (6.6.29) для эллипсоидов и ферромагнитных
материалов с изотропной или одноосной симметрией можно найти в работах
[Агранович, Деревянко, 1976; Maugin, 1979а]. В телах из изотропных
материалов простой формы векторы Н0 и М0 параллельны. Это мы и будем
предполагать в дальнейшем, так как будем иметь дело с полубеско-нечным
пространством. Для задачи механики в Жг уравнение
(6.6.4) дает
(6.6.30)
L Е
где Во определяется (6.6.26), a to - соотношением
= tw' (6-6-31>
так как стационарное решение для недеформированного тела с однородной
намагниченностью в Жь можно записать в виде
So= {*0/ ~ Но, Ро. Ро}- (6.6.32)
Это показывает, что тензор top в общем случае не равен нулю, и, чтобы
удерживать все тело в состоянии механического равновесия при таких
условиях, нужно приложить специальное распределение
поверхностных напряжений t<^>o так, чтобы из гра-
ничных условий (6.6.8) следовало
п • to - t(n)o + (6.6.32а)
на границе дВо, где to дано уравнением (6.6.30), а /доо можно* вычислить
из уравнения (6.6.22) для магнитостатического решения So. Если же
предположить, что в однородно намагниченном теле не возникает никаких
реальных напряжений, то, приравнивая нулю фундаментальное выражение
(6.6.30), в принципе можно определить внутренние деформации (ЕК1)0 в
соответствии с замечанием в § 2.10. Это большая и трудная задача,, если
учитывать нелинейные упругие свойства.
С. Линеаризация относительно Жь
В соответствии с идеями § 2.15 будем считать, что слабое-возмущение
решения магнитоупругой задачи (6.6.1) - (6.6.14),. зависящее от времени,
в любой момент времени остается в окрестности (в определенном
топологическом смысле) решения So',.
(6.6.34)
378 Гл. 6. Упругие ферромагнетики
это означает, что возмущенное решение
St = {х = х (X, /), Н (х, t), и (X, t), р (х, /)} (6.6.33)
удовлетворяет условиям
|x-x0|<eL, |Н-Н0|<|Н0|,
I р - Но I < I Ро I, I Р - Ро I < Ро.
где е - бесконечно малый параметр, a L - характерный размер тела.
Некоторые полевые величины в решении (6.6.33) являются функциями х и t
вместо X и t, так что для этих полевых величин нужно ввести эйлеровы
вариации 6* (в фиксированной точке х), так как лагранжевы вариации 8х
можно применять только к полевым величинам - функциям (X, t). Теперь мы
можем определить возмущенное решение с малыми полевыми величинами около
состояния Жг.
где
S? = {u (X, t), h (х, t), ц (X, t), р (х, t)}, (6.6.35)
(6.6.36)
х (X, t) = х" + 6хх (X, t) = х0 + и (X, t), Н (х, /) = Н" + 6*Н (х, 0 =
Н0 + h (х, /),
И (X, 0 = Но + б*н (X, /) = Ро + Р (X, /), р (х, /) = ро + б*р (х, 0 = Ро
+ Р-
В данном случае различие между б* и бх не имеет значения, так как
начальные поля однородны. Легко установить, что
• p = -p0V-u, 6xF = (Vru)t,
^х^ав = '/гбт" (бтЛы"_ в + б"выт> л), (6.6.37)
&XmK = РАк + Рок. = О,
где di = Иог/1 Pol- Взяв б^-вариацию от уравнения (6.6.7), получим
Y X h = О, V • h + p0V • н - M0D (V • u) - О, D = d • V. (6.6.38)
Взяв бх-вариацию от уравнения (6.6.19) с учетом правил
коммутативности, приведенных в § 2.15, получим
Ро ~Qft - {Ьх'Гki), к + &х <m)>
_ 0 (6.6.39)
ff = YH0d X (6xHeff) + ун X H0eff.
С учетом (6.6.20) легко найдем
Sx (/fem) = MQDh - M\V (V • u) + PoMo (V • p) • d. (6.6.40)
§ 6.6. У равнения, линеаризованные относительно ферромагнитной фазы 379*
Довольно длинное вычисление, основанное на выражениях (6.6.18), приводит
к результатам
К =t]i, /> №x$Ki),K=$li,l> &хВ{ = Bi (6.6.41) с соотношениями
hi ~ Ciikluk, I + Ejik^k,
<6-6-42>
где
Сда - С!ш+'о, А, + ". (f?, А+ft, А) + *0"?( W".
- P.f?" + РА4А - Ррво,4". (6.6.43)
0ц. = %""-(/5и + лМ,*!").
а также в дополнение к соотношению (6.6.31)
С/ш - Ро (d?pQd?Ki )0 Рбг<Акб(Ь = ^(/i) (ki)= Qiii'
f°I'k = ( dE dmp ) biKbilPkP = f°ijk'
; да, s (6.6.44>
yO =p^ 6 6 = y(r)
%iP 2po ' ( <3M^L )Q dpK6,L - %pi ¦
Уравнения (6.6.42) - (6.6.44) представляют собой линеаризованные
определяющие уравнения, выраженные через малые полевые величины и и р.
Эти уравнения справедливы для начального состояния, определяемого
решением So, и для любого типа симметрии материала в отсчетной
конфигурации Жц. Свойства симметрии тензорных коэффициентов, определенных
уравнениями
(6.6.44), показывают, что C°likl- гуковский тензор упругости, f°flk -
тензор пьезомагнитных модулей, %°jk - обратный тензор
магнитной восприимчивости и %}р - тензор ферромагнитных обменных
постоянных. Однако_в противоположность этому тензор Cjiki не гуковский, а
Ец% и Dijk не имеют обычных свойств симметрии пьезомагнитных тензоров.
Учитывая результат (6.6.40) и тот факт, что Hoff должен: быть параллелен
р0, уравнения (6.6.39) формально можно
380 Гл. 6. Упругие ферромагнетики
переписать в виде
p0-g- = divt+lem, f- = Vfi0dXHeff, (6.6.45)
где _ tjl = (^/Ш ^jlkl) Uk, I "Ь Ejik&k ' f*)>
