Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
уже неприменимо; его продолжение реализуется в виде ударных волн.
Так как S постоянно на 1{а) для всех сге [<ть <т2], то можно записать
S = ^[d(0], (5.13.3)
где 9> (а) - дифференцируемая функция а. Наша задача - показать, что (сг)
удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка и что на основе любого решения 9* (а) этой системы можно
сконструировать решение исходной системы уравнений (5.9.12) - (5.9.17) в
виде простой волны. Полагая S в этой системе равным ^[d(f)], выполняя
дифференцирование и умножая на A (or, t)da, получаем следующую систему
обыкновенных дифференциальных
§ 5.13. Понятие простых волн 315
уравнений:
Вх - const, (5.13.4)
0 = cd[(l+f1)Bx]-Bldv1, (5.13.5)
О = - с dvx - <pff dfi - 2ф^х • dt± - q>fT) dr\ + Bx • dBxAHoPo),
(5.13.6)
0 = - с dvx - 2фл, dtx - 2q>№f x df, - ± (f x • d\x)-2<qnJ dx\ -
-B^BxAPoPo), (5.13.7)
¦0 = -cdfi~dvu (5.13.8)
0 = -cdix - dvx, (5.13.9)
0 = -cdr\. (5.13.10)
В матричной форме эта система уравнений имеет вид
[cI"-M(9)\d9 = 0; (5.13.11)
решение 9 считается непостоянным. Это матричное .уравнение имеет
нетривиальные решения тогда и только тогда, когда с удовлетворяет
уравнению
0 = det (с/9 - М {9)). (5.13.12)
Очевидно, что любая линия из семейства {/(а)} является
характеристической кривой системы уравнений (5.9.12) -
(5.9.17) (см. уравнения (5.10.17) и (5.13.11)). Довольно длинные
преобразования приводят к равенству
det (с/9 - М (9)) = czF (с2; 9), (5.13.13)
где
F (с2; 9) = (с2 - 2Ф" - Wo (f+7T) X
X { С2 - (fff - ~ 4ср""^) I рх I2} +
+ 4Флгл^ I Рх X fi. I2, (5.13.14)
Р вхв± п .
Р±- ЦоРо (Ш.)
Ясно, что уравнение (5.3.12) имеет трехкратный корень с = 0. Остальные
шесть корней различны, кроме, возможно, некоторых частных видов 9'.
Всякий ненулевой корень
(5.3.13) в общем случае является непостоянной функцией 9:
с = с(9). (5.13.15)
Основная задача в исследовании простых волн - это построить решения в
виде простых волн, соответствующие определенному корню d(S) по заданным
угловым коэффициентам с (а) и ска-
316
Гл. 5. Упругие проводники
лярным функциям а (а) семейства линий {/(а)}. Для этого -Можно
использовать следующий метод [Bazer, Ericson, 1974].
(i) Сначала следует подставить вместо с в системе
(5.13.5) - (5.13.10) величину 6 (91). Заметим, что в данном случае одно
из уравнений этой системы является линейной комбинацией других и поэтому
может быть опущено.
(и) Далее выберем одну из компонент s,-, i = 1, 2, ... 9, решения 99,
например компоненту si, в качестве независимой переменной Разделим все
уравнения на dsx и решим полученную систему обыкновенных дифференциальных
уравнений. Пусть ^(si)= {sb s2(si), ..., s9(si)} обозначает решение.
(iii) Положим
с (s,)) = с (а), <т <= [<ть <т2], (5.13.16)
и выразим si через а:
s, = ?i(a). (5.13.17)
(iv). Наконец, разрешим уравнение (5.13.1) относительно а при
предположении А (о, ?)ф0 и выразим сг через х и t; положим а = 6(х, t).
Тогда решение в виде простой волны описывается формулой
S(x, 0 = ^[^(a(x, /))]. (5.13.18)
Если корень 6(9*) постоянный в области определения решения в виде простых
волн, то линии {/(а)} параллельны. Если ? (9') = 0, то эти линии
параллельны оси t. Соответствующее решение имеет вид скорее слоя, чем
волны. Ниже при помощи обрисованного метода будут описаны сначала слои, а
затем и волны.
В. Контактные слои (с (У) = 0)
Для этого случая решение имеет следующую форму, (i) Семейство {1{а)}
описывается уравнением х = а{а), [аь сг2], где а (а)-произвольная
дифференцируемая возрастающая или убывающая функция а. (И) Функция р -
произвольная дифференцируемая функция а на всем слое, т. е. т)='П(сг).
(iii) Следующие соотношения имеют место в любой точке х = х(а) слоя:
v = v0,
<Pf - lb В5-= a°' 2^fj- + 117 5lBx = Po' (5'13-19)
где все величины с индексом 0 постоянны, а Ро - постоянный поперечный
слою вектор. Соотношения (5.13.9) непосредственно следуют из системы
(5.13.5) -(5.13.10) при помощи подста-
*> Любая подходящая функция 9* может быть использована вместо si.
§ 5.13. Понятие простых волн
317
вовки с = 0. Так как соотношения (5.13.19) накладывают в общем случае
шесть условий на 9', то 9 будет варьировать в трехмерной области
девятимерного пространства (это следует из того обстоятельства, что с = 0
- трехкратный корень уравнения (5.13.12)). Первое соотношение (5.13.19)
означает, что все частицы слоя движутся с одинаковой скоростью Vo. Если
Vo = 0 и р полагается всюду постоянной, то слой находится в состоянии
стационарного равновесия; это состояние поддерживается при помощи
уравновешивающих друг друга в каждой точке слоя магнитных и упругих
напряжений. Последнее соотношение (5.13.19) также означает, что
? = (5.13.20)
/з Роз -
так что направление вектора fj. зависит только от Bj.. Когда В\ - 0, то
направление fj. остается постоянным вдоль всего слоя. Однако в общем
случае величина вектора fj., как и величины Bj., f, и т], меняется
поперек слоя; исключение составляет лишь случай, когда Bt = 0 и
