Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 35.4. ПОПЕРЕЧНАЯ КАЛИБРОВКА CO СЛЕДОМ,
РАВНЫМ НУЛЮ (ТТ-КАЛИБРОВКА.1)
Выберем 4-скорость и не в каком-то одном конкретном событии, а во всем пространстве-времени (точка зрения специальной теории относительности!) Посредством специально выбранного калибровочного преобразования (упражнение 35.1) наложим условия
AvlvUv = 0. (35.7а)
Здесь имеются лишь три новых ограничения па Atl4, а не четыре, так как одному из них ^(AvlvUv) = 0 Avlv уже удовлетворяет согласно (35.4в). В качестве четвертого ограничения воспользуемся калибровочным преобразованием (упражнение 35.1), полагая
A^vl = 0. (35.76)
Всего теперь имеется восемь ограничений A иа = A = Aaa = = 0 на десять компонент амплитуды, и система координат (калибровка) жестко фиксирована. Таким образом, две компоненты остающиеся свободными, представляют две степени свободы (две поляризации) в плоской гравитационной волне.
Плоская волна имеет две степени свободы при выборе амплитуды (две поляризации)
ТТ-калибровка:
1) для плоской волны
х) TT — transverse traceless (поперечная, со следом, равным нулю).— Прим. перев.
I
166 35. Распространение гравитационных волн
2) для произвольной волны
Разложение
пространственных
тензоров
Полезно теперь сформулировать восемь ограничений A^ua =
= AfiaJca = Atlll = Ob лоренцевой системе, где и° = I, Ui = 0,
и придать им такую форму, в которую ка явно не входит:
Ацо = 0> (35.8а)
т. е. не равны нулю только пространственные компоненты Zijft;
hkj, j — 0, (35.86)
т. е. дивергенция пространственных компонент равна нулю;
Aftft1=O, (35.8в)
т. е. след пространственных компонент равен нулю. (Здесь и ниже по повторяющимся пространственным индексам должно производиться суммирование, даже в том случае, если оба индекса являют-
3
ся нижними, например Aftft = 2 Aftft.) Заметим, что, поскольку
ft=i
h = Af1ix = Ziftft = 0, в этой калибровке Ativ ничем не отличается от Ativ.
Перейдем теперь от плоских волн к произвольным гравитационным волнам в линеаризованной теории. Любая электромагнитная волна может быть представлена в виде суперпозиции плоских волн; то же самое можно сказать и о гравитационной волне. Для каждой плоской волны, входящей в такую суперпозицию, введем свою калибровку (35.8). Заметим, что все координатные условия линейны по Ajlv. Поэтому произвольная волна также будет удовлетворять условиям (35.8). Таким образом, мы получаем следующую теорему:
Выберем в линеаризованной теории определенную глобальную лоренцеву систему отсчета (т. е. выберем определенную 4-скорость
и). В этой системе (где иа = б“0) исследуем конкретную гравитационную волну произвольной формы. Всегда можно найти такую калибровку, в которой Ativ удовлетворяет ограничениям (35.8). Кроме того, в этой калибровке отличны от нуля лишь hjk. Следовательно, остается лишь наложить шесть волновых уравнений
? Am = Ajft, а.« = 0. (35.9)
Любой симметричный тензор, удовлетворяющий ограничениям
(35.8) [но не обязательно удовлетворяющий волновым уравнениям
(35.9)], называется поперечным бесследовым тензором (ТТ-тензо-ром); поперечным он называется, во-первых, потому, что он чисто пространственный (Zi0li = 0) и, во-вторых, если рассматривать его как волну, он поперечен направлению своего распространения (A;j-,j = hijkj = 0); бесследовым он называется потому, что Ziftft = = 0. В самом общем случае чисто пространственный тензор Sij может быть разложен (см. [220] и дополнение 35.1) на следующие составные части: S\J —«поперечная бесследовая часть», Sjj = = у ($nf, kk — f. и) ~~ «поперечная часть» (Sjjt j = 0), полностью
§ 35.4. Поперечная калибровка со следом, равным нулю 167
I
определяемая одной функцией /, которая дает след S (Slh =jV2/),
и, наконец, Sij = S^j -{- Sj1t і— «продольная часть», которая определяется векторным полем iSf. В линеаризованной теории Jifj является чисто калибровочной частью Ziuv, в то время как Jiji
TT
и hij суть калибровочно инвариантные части Jiliv. Специально выбранная калибровка, при которой Iivlv сводится к своей поперечной части с равным нулю следом, называется поперечной калибровкой со следом, равным нулю (ТТ-калибровкой). Условия (35.8), определяющие эту калибровку, можно кратко представить в следующем виде:
Kv = A" (35.8г)
Как показано в упражнении 35.2, только чисто волновые решения (а не более общие решения линеаризованных уравнений поля с источником ? Hvlv = —IenT1tiv) могут быть сведены к ТТ-кали-бровке.
При ТТ-калибровке пространственно-временные компоненты тензора кривизны Римана
Rjoho — Rojoh = RjOOh = Rojko принимают особенно простую форму [см. уравнение (18.9) и упражнение 18.4]:
Rjoko= —2" оо- (35.10)
Напомним, что тензор кривизны калибровочно инвариантен (упражнение 18.1). Из этого следует невозможность сведения Jitiv к еще меньшему числу компонент, чем при ТТ-калибровке.
В дополнении 35.1 описаны методы, с помощью которых, зная
mm
&tlv в какой-то произвольной калибровке, можно вычислить Jiilv.
35.1. Преобразование плоской волны к ТТ-калибровке
