Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
43.3. Квантовый пропагатор для гармонического осциллятора
Покажите, что амплитуда вероятности для перехода простого гармонического осциллятора из состояния х', t' в состояние х", і" есть
(X t" х' t') = I тш \1/2 X
[X , , X , ; у 2лі/г sinco (*"-*') ) Х
„ ітй) [(ж"2х'2) cos м (t" t') — 2х"х']
Р 2/г sin со (t" — t’)
и что в случае свободной частицы амплитуда сводится к
1х" t" х' т у1'*
(X , , X , Т)— j р 2h(t" — t') '
Обратите внимание, что все волновые функции гармонического осциллятора можно получить из этого решения с помощью формулы
(х", t"\ х’, t') = 2 ип (х") Ufl (X ) exp iEn (t' — t")/h.
43.4. Квантовый пропагатор для свободного электромагнитного поля
В плоском пространстве-времени заданы на пространственнопо-добиой гиперповерхности t = t' магнитное поле В' (х. у, z) с равной нулю дивергенцией и на пространственноподобной гиперповерхности t = t" магнитное поле В' (х, у, z) с равной нулю дивергенцией. С помощью фурье-анализа (сводящего эту задачу к предыдущей) или другим способом найдите амплитуду вероятности для перехода из состояния с Я' в момент времени t' в состояние с В" в момент времени
43.5. Формулировка максвелловской электродинамики с помощью уравнения Гамильтона — Якоби
Считайте четыре компоненты Avl электромагнитного 4-потенциала независимыми переменными; выделите из них пространственную часть Ai и скалярный потенциал ф. 1. Получите из принципа действия (в плоском пространстве)
/ = (1/8я) j (E2 - В2) CliX,
§ 43.4. Флуктуации геометрии 461
2
отделяя соответствующую дивергенцию, выражение, качественно похожее по своему характеру на (43.7). 2. Покажите, что подходящей величиной, которую следует фиксировать на начальной и конечной пространственноподобных гиперповерхностях, на самом деле является не At, а магнитное поле, определяемое как В = rot Л. 3. Выведите уравнение Гамильтона — Якоби для динамической фазы, или действия S (В, #), в зависимости от выбора гиперповерхности и выбора магнитного поля В на этой гиперповерхности:
__6S_ = J_ 2 , (4п)2 / 65 \2 6Q 8л 8зх V 64 I '
Величина, стоящая слева, есть «пузырьково-временная производная» Томонаги ([440], см. также дополнение 21.1).
УПРАЖНЕНИЯ
44. ЗА ГРАНИЦЕЙ ВРЕМЕНИ
Небеса плывут над тобой,
Взор твой вечною славой своею пленяя,
А ты все равно не отводишь глаз от Земли.
ДАНТЕ
Мир стоит перед нами как великая вечная загадка.
ЭЙНШТЕЙН [441J
Эта глава целиком относится к курсу 2. Для подготовки к ней не требуется какой-либо предыдущий материал курса 2, но гл. 43 окажется полезной.
§ 44.1. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС КАК ВЕЛИЧАЙШИЙ КРИЗИС В ИСТОРИИ ФИЗИКИ
Вселенная начинает свое существование из сверхплотного п сверхгорячего состояния, расширяется до максимальных размеров, а затем вновь сжимается и коллапсирует — никогда не делалось предсказания, внушающего столь благоговейное чувство. Оно противоречит здравому смыслу. Эйнштейн сам не мог поверить в свой вывод. Только наблюдения Хаббла заставили его и научную общественность отказаться от концепции вечного существования Вселенной.
В последующих работах [31, 193, 443, 444] обобщается этот вывод. Замкнутая модель Вселенной, подчиняющаяся геометро-динамике Эйнштейна и нигде не обладающая отрицательной плотностью массы-энергии, неизбежно приводит к сингулярности. Плотность массы-эпергии с неизбежностью неограниченно растет. Вычислительная машина, рассчитывающая шаг за шагом динамическую эволюцию геометрии, доходит до такой точки, дальше которой она не может продолжать счет. Образно говоря, из машины начинает «валить дым». Тем не менее поступательное движение физики, безусловно, продолжается хотя бы по той
Марчоновская лекция, прочитанная Дж. А. Уилером в университете Ньюкасла-апон-Тайн 18 мая 1971 г., и Наффилдовская лекция, прочитанная в Кембриджском университете 19 июля 1971 г., основывались на материале, изложенном в этой главе.
§ 44.1. Гравитационный коллапс как величайший кризис 463
2
причине, что физика по определению есть то, что существует вечно, несмотря ни на какие призрачные изменения во внешних проявлениях реальности.
Несомненно дверь однажды распахнется, и перед нами откроется сверкающий механизм движения мира во всем своем великолепии и простоте. В преддверии этого дня никакое открытие не вселяет столько надежд, как парадокс гравитационного коллапса. Ho почему парадокс? Потому что уравнение Эйнштейна гласит: «Это конец», а физика утверждает, что «конца не существует». Почему же тогда надежды? Потому что среди всех примеров расследования загадочной проблемы физика не может предложить ничего более обещающего, чем парадокс.
Ни один из предшествующих периодов развития физики не приводил к большему парадоксу, чем 1911 год\(дополнение 44.1). Резерфорд только что был вынужден сделать вывод, что вещество состоит из локализованных положительных и отрицательных зарядов. Согласно теории, построенное таким образом вещество должно испытать электрический коллапс за время 10~17 с. Из наблюдений столь же ясно следовало, что вещество стабильно. Никто не отнесся к этому парадоксу с большей серьезностью, чем Бор. Никто не работал со всей энергией, на какую только способен человек, вновь и вновь обращаясь к главной загадке. Никто не совмещал в себе дерзкую смелость с консерватизмом, никто не обладал более глубоким чувством гармонии в физике. Если же обратиться к литературе второго десятилетия нашего века по вопросу о строении атома, то возникает впечатление какофонии в противоположность гармонии. 1. Изменить закон Кулона, описывающий взаимодействие между электрическими зарядами?
