Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Дополнение 39.3. ПОСТНЬЮТОНОВСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Уровень приближения (и работы, в которых ОТО разлагается до указанного уровня) Soo Порядок или значение членов sO j sJk
Плоское пустое пространство-время —1 0 Sjk
Ньютоновское приближение 2 U 0 0
Постньютоновское приближение [340, 345] -(-члены ~ є4 +члены - ~ E3 +члены ~ E2
Постпостньютоновское приближение [346] + члены ~ Є6 члены ~ -'Є5 +члены ~ Є4
Торможение излучением [254] + члены ~ є7 +члены - - E6 +члены ~ Є5
§ 39.7. Ньютоновское приближение 323
2
§ 39.7. НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
В ньютоновском порядке метрика имеет вид (39.10), а 4-скорость и тензор энергии-импульса имеют относительно ППН-системы координат следующие компоненты:
и0 = +1 + О (є2), uj = Vj + О (є3); (39.12)
Г00 = Ро + О (р0е2), Г3 = p0LV + О (р0е3),
T3k =^tjh+ PoVjVh -f О (р0е4) (39.13)
(см. упражнение 39.3). Структура и эволюция Солнечной системы определяются двумя системами уравнений: 1. Эйнштейновские уравнения поля. Как показано в § 18.4, а также в § 17.4, в ньютоновском пределе уравнения Эйнштейна сводятся к уравнению Лапласа
TJ, Л = —4лр0, (39.14а)
которое имеет «дальнодействующее» решение
U(x, t)= (Px1. (39.146)
2. Локальный закон сохранения энергии-импульса Та\ р = 0. Временная компонента этого закона сводится к закону сохранения массы покоя
Op0Idtjr д (P0Vj)Idxj = 0 -f относительные ошибки порядка О (є2),
(39.15а)
а пространственные компоненты сводятся ко второму закону движения Ньютона F = та:
Po dvj/dt = P0 (dU/dXj) — dt* ^jdxh +
+ относительные ошибки порядка О (є2), (39.156)
d/dt = (субстанциональная производная) = d/dt + vh d/dxh (39.16)
(см. упражнение 39.3).
Уравнения (39.14)—(39.16) вместе с уравнениями состояния, описывающими вещество планет и Солнца, лежат в основе всех ньютоновских расчетов структуры и движения Солнца и планет. Заметим, что плотность внутренней энергии р0П нигде не входит в эти уравнения. В ньютоновской гидродинамике эта величина не играет никакой роли. Она существенна для баланса тепловой энергии Солнца; но это не имеет отношения к тому, о чем здесь идет речь.
21*
Ньютоновское
приближение
2
324 39. Другие теории гравитации
УПРАЖНЕНИЯ
39.3. Ньютоновское приближение
а. Выведите формулы (39.13) для компонент тензора энергии-
импульса в ППН-системе координат. [Указание. В системе, относительно которой вещество покоится («сопутствующая ортонор-мированная система»), 7’оо=р = ро + 0(е2), = 0, T^u —
— Vjh', см. соотношения (39.5). Чтобы получить Ta р, подвергнем эти компоненты преобразованию Лоренца с помощью чистого буСТа С обычной ТрехмерНОЙ СКОРОСТЬЮ — Vj.]
б. Покажите, что в ППН-системе координат уравнение = 0 сводится к уравнению (39.15а), а уравнение T^ = 0, объединенное с (39.15а), сводится к уравнению (39.156).
39.4. Полезная формула
Исходя из уравнений (39.15), выведите следующую полезную формулу, справедливую для любой функции / (ж, t):
¦jf j Po (*,*)/ (ж’ 0 d*x = { Po (ж. 0 df %' t]' cl^x +
+ относительные ошибки О (г2). (39.17)
Здесь оба интеграла берутся по всему пространству, a clf/dt —
субстанциональная производная (39.16).
39.5. Тензор натяжений ньютоновского гравитационного поля
Определите «тензор натяжений ньютоновского гравитационного поля Ub следующим образом:
t ik=ir{UJU.k-ibjkUjuj). (39.18)
Покажите, что уравнения движения вещества (39.156) можно переписать в виде
P0^L=Z—_А_ (tjfe + ?<.g) + относительные ошибки O(B2)1 (39.19)
(P0^) i -f (tjk -j- ? 4* P(PjVk)tk — 0 относительные ошибки О (sz).
(39.19')
39.6. Ньютоновские теоремы вирпала
а. Исходя из уравнения (39.19'), покажите, что
CPIjkIdtz = 2 ^ (tjh -\-tj g + PoVjVh) d3x + относительные ошибки О (є2),
(39.20а)
§ 39.7. Ньютоновское приближение 325 где Ijk — второй момент распределения массы этой системы:
Ijk = j PoXjXkd3x.
Это так называемая «тензорная теорема вириала, учитывающая зависимость от времени».
б. Сделайте отсюда следующий вывод: если ( )дл. Вр обозначает усреднение по длительному периоду времени, то
<(j ^jk + t-rhJrPovJvk)d3x)w.вр = 0( J Poe4^3Z)• (39.206)
Это так называемая «тензорная теорема вириала».
в. Производя свертку по индексам и пользуясь уравнениями (39.18), (39.14а) и (39.5д), выведите (обычные) теоремы вириала
у dP-Ijdt2— j роv2d3x — j у P0CZd3Z +3 j pd?x +
+ относительные ошибки О (є2), (39.21а)
где I — след от второго момента распределения масс:
I = Ijj= j рагЧ3х,
и
^ j Pov2d3x — т j PoUd?x-\-3 j pd3x~y^ p = ^ ( j Po&id3x j.
/кинети-\ /гравита-\ /интегралч (39.216)
2 X I ческая I + I цпонная I + З X [ от давле- J
\энергия / уэнергия / \ния /
39.7. Частота пульсаций ньютоновской звезды
Воспользуйтесь обычной теоремой вириала с учетом зависимости от времени (39.21а), чтобы вывести следующие соотношения для основной угловой частоты пульсаций невращающейся ньютоновской звезды:
собственная гравитационная ш2 = (ЗГ1-4)------------энергия звезды----------^
