Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
E2 = максимальное значение ньютоновского потенциала U 3*
3* значений U, у2, plp0, I^j-|/р0, П повсюду (39.7)
[В центре Солнца ньютоновский потенциал равен е2 ~ IO-5. Величины р/Po, t ij/po и П в центре Солнца также порядка IO-5, а повсюду в других местах они много меньше этого значения. Орбитальные скорости планет меньше 100 км/с == 3-IO-4, так ЧТО V2 ¦< IO-7.] Кроме того, изменения всех величин со временем при фиксированном Xj обусловлены в первую очередь движением вещества. В результате производные по времени малы по сравнению с пространственными производными на фактор О (г):
~ I Vj I для любой величины А, (39.8)
хотя это не так в волновой зоне, где имеется направленный от Солнечной системы поток гравитационных волн (расстояние от Солнца больше или равно одному световому году). Следовательно,
когда мы совершаем постньютоновское разложение, следует
исключить из рассмотрения волновую зону. Для ее исследования требуются иные методы, например те, которые изложены в гл. 36.
1) В Солнечной системе постньютоновские поправки, обусловленные анизотропными натяжениями, столь малы по сравнению с другими постнью-тоновскими поправками, что в 70-х годах нет надежды их измерить. По этой причине в литературе (но не в этой книге) ППН-формализм рассматривает все натяжения на постньютоновском уровне как изотропные давления, полагая тем самым ППН-параметр Tj, который вводится в § 39.8—39.11, равным нулю.
§ 39,6. Сущность пост ньютоновского разложения 321
2
Условия (39.7) и (39.8) показывают, что можно разложить метрические коэффициенты по степеням малого параметра є, рассматривая величины U, у2, piр0, ttj!р0 и П как если бы все они были порядка О (є2) (часто они еще меньше!) и считая, что производные по времени меньше пространственных производных на фактор О (в).
В этом «постньютоновском» разложении нечетные по є члены (т. е. такие члены, как
г 39>9
J I JO ОС I Л
в которые V и didt в сумме входят нечетное число раз) при обращении времени меняют знак на противоположный, тогда как знак четных по є членов не меняется. Обращение времени (X0 = = —х°) изменяет также знак goj (goj = —goj), но оставляет без изменения If00 и gjk. Поэтому g0j должны содержать только нечетные по є члены, в то время как ^00 и gik — только четные. [На самом деле это перестает быть верным, когда вступает в игру торможение излучением. В реальном мире мы всегда требуем выполнения граничных условий для расходящихся волн. Ho обращение времени превращает расходящиеся волны в сходящиеся, так что для обратного превращения требуется еще одно изменение знака. Поэтому члены, связанные с радиационным затуханием, в метрике ближней зоны четны по Є ДЛЯ g0j и нечетны для ^00 и gjh. Однако торможение излучением не вступает в игру вплоть до добавок порядка є5 сверх ньютоновской теории (см. гл. 36), так что здесь оно не будет учитываться.]
Вид разложения до ньютоновского порядка уже известен (см. § 17.4 с заменой Ф на —U); ньютоновский закон тяготения получается лишь в том случае, если потребовать
gbo = — I + 2U+ [члены ^ є4],
goj = [члены =? є3], (39.10)
gb-=6U+[члены ^e2].
Приведенные ограничения па поправки более высоких порядков диктуются тем требованием, чтобы пространственные компоненты уравнений для геодезических согласовывались с ньютоновскими уравнениями движения:
ci^xj ^ d2Xj _ -pj dxa dxP ^ j-,j dxa dx$
dt2 ~ dx2 ct^ dx dx ~ dt dt
= — Год — 21^1? — It rvkv s =
= U,j + члены порядка {egoh, (39.11)
Если бы goh было порядка O (є) или больше и если бы ghg — было порядка О (1) или больше, то мы получили бы неверный ньютоновский предел.
2 I—ОI 8
Правила
разложения
Вид разложения метрики
2
322 39. Другие теории гравитации
Разложение до все более высоких порядков продолжается по тому же образцу. Поэтому в уравнении для геодезических, а также в законе локального сохранения энергии-импульса Tf $ = = 0 g00 всегда имеет тот же порядок, что и egok п e2gik (см. упражнение 39.2). Поэтому постньютоновское разложение имеет вид, приведенный вкратце в дополнении 39.3.
упражнения 39.1. Порядки величин в гравитационно связанных системах
Воспользуйтесь ньютоновской теорией, чтобы вывести условия
(39.7) для любой гравитационно связанной системы. (Указание. К этому вопросу имеют непосредственное отношение такие понятия, как орбитальные скорости, скорости звуковых волн и волн сдвига, теорема вириала и гидростатическое равновесие.)
39.2. Структура членов постньютоновского разложения
Убедитесь в правильности утверждения, сделанного в этом параграфе вслед за уравнением (39.11). В частности, предположите,
ЧТО МЫ ХОТИМ ОЦеНИТЬ КООрДИНаТНОе ускорение Cl2XjIdt2 с точностью до E2nUj для некоторого целого N. Покажите, что для решения этой задачи требуется знать g00 с точностью до є2Л+2, goh —до g2JV+l J1 glk — до g2JV1 Допустите также, что T00 известно с точностью до р0е2Л\ T03 — до p0e27V+1 и Tlh — до р0є2*+2 [см., например, выражения (39.13) для N = 0 и (39.42) для N = 2]. Покажите, что для вычисления T7?* с точностью до e2JV+1p0i;- и Т-% С ТОЧНОСТЬЮ ДО e2JV+2p0, j необходимо знать g00 с точностью до e2N+2, gok — до e2JV+1 и gik — до є2*. Это определяет вид таблицы, приведенной в дополнении 39.3.
