Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
37.14. Поперечное сечение поглощения гравитационного излучения идеализированной моделью Земли
Наблюдаемый период квадрупольпых колебаний Земли составляет 54 мин (обзор и библиографию см., например, в работах [271, 272]). Анализ этой моды колебаний с полным учетом влияния упругости и вариаций плотности внутри Земли — весьма сложное дело. Поэтому для первой оценки поперечного сечения Земли по поглощению квадрупольного излучения рассмотрим Землю в виде шара, состоящего из жидкости постоянной плотностп, сферическая форма которого поддерживается в равновесии исключительно гравитационными силами (нулевая жесткость). Пусть поверхность испытывает смещения от г = а до
г = а + ааР2 (cos в), (37.46а)
где 0 — полярный угол, отсчитываемый от Северного полюса, а а — относительное удлинение главной оси. Движение с минимальной эпергией, совместимое с этим изменением формы поверхности, описывается полем скоростей
Iх = —J ах, Vj = — -J- ау, Iz = OCZ (37.466)
(нулевая дивергенция, нулевой вихрь).
а. Покажите, что сумма кинетической и гравитационной потенциальной энергий равна
E = -(3/5) (M2Ia) (1 - а2/5) + (3/20) Ма2а2. (37.46в)
б. Покажите, что угловая частота свободного квадрупольного колебания равна
со = (16ji/15)1/2pV2. (37.46г)
§ 37.7. P. 0. детектор общего типа 271
2
в. Покажите, что приведенные квадрупольные моменты равны упражнения
ixx — iyy = —Ma" а/5, izz = 2Ма2а/Ъ. (37.46д)
г. Покажите, что скорость излучения колебательной энергии, усредненная по периоду, составляет
- {dE/dt > = (3/125) Д/*а4<вва?ик • (37.46е)
д. Покажите, что скорость экспоненциального уменьшения энергии вследствие радиационного затухания из-за гравитационных волн, или «уширение линий вследствие гравитационного излучения», равно
Agw = (4/25) Ma2со4. (37.46ж)
е. Покажите, что резонансный интеграл от поперечного сечения поглощения для излучения, падающего по случайным направлениям и имеющего хаотическую поляризацию, равен
\ {a (V)) dv = (я/2) T2Aaw = (2я/25) MaiZki. (37.46з)
резонанс
ж. Оцените этот резонансный интеграл. Замечание. Эта модель шара из жидкости с постоянной плотностью дает для Земли при средней плотности 5,517 г/см3 период квадрупольного колебания 94 мин по сравнению с наблюдаемым периодом 54 мин и момент инерции (2/5) Ma2 по сравнению с наблюдаемым 0,33Ma2. Руффини и Уилер [115] оценили поправочные множители для обоих эффектов и получили окончательное значение резонансного интеграла ~5 см2 Гц.
Дополнение 37.4. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ РЕЗОНАНСНЫЕ ДЕТЕКТОРЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ]
А. Физические характеристики детектора
1. Детектор представляет собой твердое тело (Земля, веберовская болванка,
крыло автомобиля ...) с распределением плотности р (х) и полной массой
M = \ р dsx. j
2. Детектор имеет нормальные моды колебаний; п-я нормальная мода характеризуется следующими величинами:'
со„ = угловая частота,
/время, за которое энергия колебанийч Tji -- j уменьшается в е раз вследствие I l/con, (1)
\внутреннего трения /
/собственная функция (здесь HO определению\ ип\х) — \она безразмерна и действительна) )'
і
272 37. Детектирование гравитационных волн
Собственные функции ип ортономированы, так что
jp un-umd3x = M8nm. (2)
3. В ходе колебания в нормальной моде с энергией EKOSl^^> кТ элемент
массы, первоначально расположенный в х, получает смещение
8х = 1 = ип(х).%пе~ш^-і,хп, (За)
t
I—^постоянная амплитуда плотность при фиксированном х изменяется как
6p=_v.(p "у (Зб)
а тензор момента инерции осциллирует:
Mjh = hnm®ne~шп^п. (Зв)
Здесь IiniJh — фактор момента инерции для п-й нормальной моды:
IintJh= j —(P«nе),/ x3xhd3x= j р (un3xh + unhx3)d3x (А)
(размерности: [IJh] = [масса х длина] X [.%п] (длина)).
Соответствующий приведенный квадрупольный фактор для п-й нормальной моды равен
i(n)jh^ I<.n)jh з Inftf^ih- (5)
Поперечные сечения для детектора (упражнение 37.10)
1. Для поляризованного излучения, распространяющегося в направлении п и имеющего тензор поляризации е,
hJk (t— п-х) e]h, ejh^h = ^-: ejj= 0> ejkejh ~ 2Ї (6)
Crn (V) = On (со/2л) = (lMl^^"g(1/2Tn)T. (7а)
j On dv= JlilinIjpLl2-(ОІ (76)
резонанс
2. Для неполяризованного излучения (хаотической смеси поляризаций) с направлением распространения п поперечные сечения равны
,,ГГ 2 /
к / \ к п ' Wjh) <ВП/ТП
CT11 (V) - Crn (<в/2я) - -J. J3 (| <» I_а»л)2 + (i/2x„)* ’ ( ^
j On dv = -J--(/(Tg^— со*. (86)
резонанс
§ 37.7. Р. д. детектор общего типа 273
2
Здесь f Jn)jk — поперечная бесследовая часть f (поперечная и бесследо-вая по отношению к направлению распространения п):
f-Ц--= Pf(n)P — j P Sp (Pf(п)), Pjh = Sjh-HiTih (9)
(см. дополнение 36.1).
3. Поперечные сечения для неполяризованного усредненного по всем направлениям излучения равны
(O11 (v)>no всем „аправл (| ш |-со^+Т^дИсс/2)2 ’ (10Я)
^ (Cf71)no всем направл = "2“ (10о)
резонанс
где коэффициенты Эйнштейна А равны
А- дисс = 1/^711 (1^)
А _I (I(TDjk)2 „4 /,IOn
