Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Дополнение 6.2. УСКОРЕННЫЕ НАБЛЮДАТЕЛИ (КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ)
Ускоренный наблюдатель может иметь с собой часы и линейки и с их помощью ввести в своей окрестности систему отсчета (систему координат).
Его часы, если они выбраны таким образом, что их структура практически не меняется под действием ускорения (например, атомные часы), будут идти в том же темпе, что и неускоренпые часы, движущиеся в данный момент вместе
§ 6.1. Ускоренные наблюдатели в рамках СТО 209
I
с наблюдателем:
(интервал времени отсчитанный \
часами наблюдателя, когда он \
продвинулся вдоль своей миро- I = [ — g (|, |)]1/2.
вой линии на векторное сме- I
щение % )
И его линейки, если они выбраны достаточно жесткими, отмерят те же длины, как и неускоренные линейки, движущиеся вместе с ним. (Более подробное рассмотрение см. в § 16.4 и в дополнениях 16.2 и 16.4.)
Пусть система координат наблюдателя представляет собой декартову решетку из линеек и часов, начало которой всегда находится на его мировой линии. Наблюдатель должен следить, чтобы размеры этой решетки были ограничены:
і Z= I пространственный \ /ускорение, измеренное \-1______1_
\ размер решетки / ^ V по его акселерометрам / ~ g '
На расстоянии I от его мировой линии с его решеткой происходят странные явления безразмерной величины gl: например, ускорение, измеряемое акселерометрами, отличается от g на относительную величину ~gl (упражнение 6.7); часы, первоначально синхронизованные с часами на его мировой линии, выбиваются из ритма (идут с другими скоростями) на относительную величину ~gl (упражнение 6.6). (Заметим, что ускорению, равному «ускорению земного притяжения», соответствует
g-1 ~ IO-3C2ZCM ~ IO18 CM ~ 1 световой год,
т. е. условие I Mg, как правило, не накладывает очень жестких ограничений.)
Чтобы установить результаты экспериментов и наблюдений, выполненных ускоренным наблюдателем, их можно сначала исследовать в геометрических терминах, свободных от координат, а затем спроектировать результаты на базисные векторы ускоренной системы. С другой стороны, можно проанализировать эксперименты и наблюдения в лоренцевой системе, а затем преобразовать их в ускоренную систему.
Согласно такого рода анализу, результаты экспериментов, поставленных локально (при I <С IIg) ускоренным наблюдателем, отличаются от результатов тех же экспериментов, выполненных в лоренцевой системе, лишь в трех отношениях:
1. Имеются непростые отличия относительной величины порядка gl 1, о которых упоминалось выше и которые можно сделать пренебрежимо малыми, уменьшив соответствующим образом размеры ускоренной системы отсчета.
2. Имеются силы Кориолиса точно того же типа, что и в ньютоновской теории (упражнение 6.8). Наблюдатель может от них избавиться, если он тщательным образом исключит вращение своей координатной решетки: например, прикрепив ее к гироскопам, которые ускоряются вместе с ним посредством сил, приложенных к центрам масс (нет крутящего момента!). Такая невращающаяся решетка обладает базисными векторами, получающимися
14-01467
210 б. Ускоренные наблюдатели
в результате «переноса Ферми — Уолкера» (§ 6.5):
= и (а •««.) — а(и-в«.), (1)
где U — 4-скорость, a a = du/dx — 4-ускорение.
Имеются силы инерции точно того же типа, что и в ньютоновской георив (упражнение 6.8). Они обусловлены ускорением наблюдателя, и от них можно избавиться, лишь прекратив ускорение.
Остальная часть этой главы относится к курсу 2.
Ее содержание не зависит от предыдущего материала курса 2.
Она нужна в качестве подготовительного материала
1) для математического анализа гироскопов в искривленном пространстве-времени (упражнение 19.2, § 40.7) и
2) для математической теории собственных систем отсчета ускоренного наблюдателя (§ 13.6). Она будет полезна во многих приложениях теории тяготения (гл. 18—40).
§ 6.2. ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Приступим к изучению пассажира ракеты, который ощущает «тяготение», поскольку он ускоряется в плоском пространстве-времени. Начнем с описания его движения по отношению к инер-ццальной системе отсчета. Его 4-скорость удовлетворяет условию U2 = —1. Фиксированное значение 4-скорости эквивалентно тому, что 4-ускорение
a = du/dx (6.1)
ортогонально 4-скорости:
0 = (d/dx) (— */г) = (d/dx) и • и ) = а • и. (6.2)
Из этого уравнения следует, что в системе покоя пассажира (в такой лоренцевой системе, где в интересующий нас момент и = во) а0 = 0; в этой системе пространственные компоненты а*1 сводятся к обычному определению ускорения а*= (PxiIdti. По виду компонент а** = (0; а1) в системе покоя мы можем сказать, что величина ускорения в системе покоя представляет собой простой инвариант
в2 = і = (с?2Х/(2?2)измеренное в системе покоя.
Рассмотрим для простоты наблюдателя, который все время ощущает постоянное ускорение g. Пусть ускорение направлено вдоль оси X1 некоторой инерциальной системы, а х2 = з? — 0. Уравнения движения наблюдателя в этой инерциальной системе принимают вид
dt л dx t du0 a du1
S 6.2. Гиперболическое движение 211
