Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
j (V-S)d4Q= J S-dS
суэ дуз
для любого тензора, подобного S = Saf^ta 0 ©Р 0 Bv (запись в компонентах приведена в дополнении 5.3). Она представляет собой частный случай обобщенной теоремы Стокса (дополнение 4.1), возможность применения которой зависит от того факта, что базисные векторы еа и ©Р глобальной лоренцевой системы постоянны, т- е. не зависят от х. Определения даны ниже в пункте А, а доказательства — в пункте Б.
А. В плоских пространствах, благодаря наличию постоянных базисных векторов, можно определить интегралы, значениями которых являются тензоры. Таким образом, для тензора с указанным рангом полагаем по определению
j S-d32=ea0o>0 j 5Vd3 Sv.
Вынесение базисных векторов и форм из-под знака интеграла оправдано тем, что они постоянны и не зависят от положения точки в пространстве-времени. Каждое
из чисел J Saf^d3 Sv (для а, р = 0, 1, 2, 3) вычисляется подстановкой в 3-форму
SaeVd8 Sv любой соответствующим образом ориентированной параметризации гиперповерхности, как это описано в дополнении 4.1 (в той части выкладок, где не затрагиваются «свободные индексы» аир, допускается произвольная криволинейная параметризация). Другими словами, под S-d8 S = ea 0 ©р 0 S'V’d8 Sv
§ 5.9. Сохранение 4-импульса: дифференциальная формулировка 195
2
понимается «тензорнозначная 3-форма». Под знаком интеграла она свертывается с элементом гиперплоскости, касательным к 3-поверхности 3і (Я.1, V, Я,3) интегрирования, в результате чего получается интеграл
<*.**, Л-IS-Л-SS-) Л’<»•**•-= в шв j а1***»-
v — - ,и,-*
якобиан
Хотя здесь и существенно то, что базисные векторы ва, (00, соответствующие прямоугольным координатам, постоянны, тем не менее можно пользоваться параметризацией гиперповерхности самого общего вида.
Б. Доказательство теоремы, Гаусса сводится к несложным выкладкам:
<|> S-^3S = Ba 0 Юр SafifC^ Sv (ва, ПОСТОЯННЫ)
&суэ дсуз
= ва 0 j d ((SaQfCl3 Zv) (теорема Стокса)
суэ
— ва 0 ( 5*pv,v*l (CM. ниже)
суэ
= j (V-SJd4Q (простое изменение обозначений).
суэ
Выше в выкладках опущено звено
d (5V d3 Zv) = ^SafivIdzр) Ах? Д d3 Zv = (dSafiy/dxv)*i.
Здесь сначала использовано d (d3 Zv) = 0 (это следствие того, что CliaPv = Const в плоском пространстве-времени), а затем учтено, что
dxP Д d3Sv = 6Pv*l.
(Запишем левую часть этого тождества в виде EvIlivXidarP Д da:** Д Acv Д йх1. Единственный отличный от нуля член в сумме по (ivA, соответствует комбинации чисел каждое из которых отлично от р. Значение этого члена и выпи-
сано в правой части тождества.)
В. Сводка обозначений. 3-форма плотности заряда:
*J = J»d? Ztl = J • d32 = Axf1 Д Ax$ Д da;v/3!.
*2“ '
Wufiv
ІЗ*
о
f 196 5. Тензор энергии-импульса и законы, сохранения
2-формы Максвелла и Фарадея:
*F =4 F»vd?S^,
F = y Fliv йх* Д Chv.
Базисные 2-формы:
йх“ Д (один способ обозначения),
(I2Sliy = e^viapi Д (дуальный способ обозначения).
3-форма плотности энергии-импульса:
T-^3S = e^d3 Sv = *Т.
дуальность ПО последнему индексу, (‘Г)^Pv = TlivEvaPv.
3-форма плотности момента импульса:
j.&H -Ie11 Л e4f ^d3 Se ^ V; (Wv-IW = ^vVfv-
Ньютоновская
жидкость
характеризуется
Ir3 Us' 1, <)<<.'р
§ 5.10. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЯ V-T = O
Уравнение движения V-T = 0, примененное к почти ньютоновской жидкости, приводит к классическим (ньютоновским) уравнениям гидродинамики. Такая жидкость характеризуется низкими скоростями по отношению к используемой лоренцевой системе I Vt I 1, и в ее системе покоя давление жидкости мало по сравнению с плотностью энергии-массы р/р = р/рс2 1.
Например, воздух в урагане имеет следующие параметры: І Vі |~ 100 км/час ~ 3 000 см/с ~ IO-7 с = IO-7 1,
Pm
P
1 атм
10е дин/см2
IO9
CMz
IO-12C2= IO-12 <1.
Тензор
анергии-импульса
и уравнение
движения
для ньютоновской
жидкости
IO-3 г/см® IO-3 г/смЗ с2
Тензор энергии-импульса такой жидкости имеет компоненты
T00= (р -i p) U0U0—р яі р, (5.37а)
Toi = Тю = (р + р) u0uj« pvj, (5.376)
Tjh = (р + р) ujuh + p5’h « PVjIJi + p6jh; (5.37в)
компонентами уравнения движения V-T = O являются
T00p0 + TojJ = dpldt -)- V • (ру) = 0 («уравнение непрерывности»)
(5.38а)
Tio о + Tjhik = д (PVi)Idt + д (PVjVh)Idxh + Opldxj = 0,
§ 5.10. Примеры применения уравнения V-T = O 197
2
или, что эквивалентно (в совокупности с уравнением непрерывности)
dv 1
-^- + (v-V)v= — — Vp («уравнение Эйлера»). (5.386)
6 дополнении 5.5 эти результаты выводятся и анализируются с ньютоновской точки зрения.
В качестве еще одного применения уравнения V-T = O рассмотрим составную систему: резиновый брусок, в который вделаны электрически заряженные бусины, взаимодействующие с электромагнитным полем. Резиновый брусок колеблется; бусины при этом испытывают ускорения и излу'-:ают электромагнитные волны. В то же время падающие электромагнитные волны подталкивают бусины, изменяя картину колебаний бруска. Взаимодействия передают
4-импульс от бруска с бусинами электромагнитному полю и обратно. Ни 4-импульс бруска, ни 4-импульс поля не сохраняются; ни ^•Торуска, ни V-T8. м. поля не равны нулю. Ho полный 4-импульс должен сохраняться, т. е.