Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
83 ?- Основи специальной теории относительности
системы, принимает вид
U = doP/dx = (dx*/dx) вц=u°e0 + UiBl + u2e2 + UaB3. (2.3)
Компоненты Wa любого другого вектора W в этой системе определяются аналогичным образом как коэффициенты в разложении
w = WaBa. (2.4)
Обратите внимание: индекс ос у еа обозначает номер вектора, а не номер компоненты!
Дополнение 2.1. ПРОЩАЙ ictl
От одного математического понятия, некогда присутствовавшего в специальной теории относительности, необходимо избавиться. Это мнимая координата х* = ict. Она была введена для того, чтобы геометрия пространства-времени формально как можно меньше отличалась от геометрии эвклидова пространства, чтобы преобразования Лоренца по виду были похожи на вращения и чтобы не было различия, которое в противном случае необходимо проводить между величинами с верхними индексами (такими, как компоненты рвектора энергии-импульса) и величинами с нижними индексами (такими, как компоненты Pfl 1-формы энергии-импульса). Однако, избавившись от этого различия, мы только проиграем. Без него невозможно узнать, имеется ли в виду вектор (§ 2.3) или совсем иной геометрический объект, являющийся 1-формой (§ 2.5). Более того, имеется существенное различие между углом, от которого все зависит периодически (вращение), и параметром, увеличение которого всегда приводит к возрастанию разницы в импульсе («параметр скорости» преобразований Лоренца, дополнение 2.4). При введении мнимой временной координаты от нас не только ускользают характерные черты геометрического объекта, с которым мы имеем дело, и природа параметра в преобразовании координат, но происходит нечто еще более существенное: ускользает совершенно различная структура метрики (§ 2.4) в геометрии + + +ив геометрии
----1—h +• Если в эвклидовой геометрии расстояние между двумя точками равно
нулю, то эти две точки являются одной и той же точкой. Если же в геометрии Лоренца — Минковского интервал между двумя событиями равен нулю, то одно событие может происходить на Земле, а другое — на сверхновой в галактике M 31, хотя они соединены нулевым лучом (лежащим на световом конусе). В световом конусе, направленном из данного события в прошлое, содержатся все события, которые могли повлиять на данное событие. В световом конусе, направленном в будущее, содержатся все события, на которые оно само может повлиять. Множество двойных световых конусов, выходящих из каждого события в пространстве-времени, образует зацепляющуюся причинную структуру. Благодаря этой структуре физические закономерности в мире таковы, какие они есть (более подробно об этой структуре см. [89—91]). И если в области пространства-времени, являющейся плоской, можно замаскировать эту структуру, написав
(As)2 = (Дя1)2 + (Дя2)2 + (Ах3)2 + (Дя4)2,
где X4 = ict, то еще никто не нашел способа, как ввести мнимую координату в общем случае искривленного пространственно-временного многообразия. А если
I
Разложение вектора по базису
§ 2.4. Метрический тензор 89
I
Xі = ict нельзя ввести там, то мы не будем использовать ее и здесь. В этой главе и ниже, как и во всей литературе по общей теории относительности, используется вещественная временная координата х° = t — сг0бычн (индекс 0, а не 4, чтобы избежать всякой возможности спутать с мнимой временной координатой).
§ 2.4. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР
Метрический тензор, как уже говорилось в дополнении 1.3, IV,— это своего рода машина для вычисления квадрата длины одного вектора и скалярного произведения двух различных векторов. Точнее, метрический тензор g представляет собой машину с двумя каналами для ввода векторов:
вход 1 вход 2 \ I (2.5)
д( . )•
После ввода векторов машина выдает вещественное число:
9 (“і V) = скалярное произведение и на у, обозначаемое также u-v,
(2.6)
g (и, и) = квадрат длины и, обозначаемый также и2.
Это число не зависит от порядка, в котором вводятся векторы («метрический тензор симметричен»),
g(u, V) = g(v, u), (2.7)
и линейно зависит от самих векторов:
g(au + bv, w) = g(w, au + bv) = ag (u, w)+bg (v, w). (2.8)
Так как метрическая «машина» линейна, ее «продукцию» можно
вычислить для любых входных данных, зная лишь результат ее воздействия на базисные векторы ва лоренцевой системы. Это делается следующим образом:
1) Определим СИМВОЛЫ («метрические коэффициенты») Tla4:
*1аЗ в 9 (ва, вр) = ва -вр. (2.9)
2) Вычислим их численные значения, используя известное выражение для квадрата длины вектора % = Ахава, разделяющего два события:
(As)2= — (Да:0)2+ (Да:1)2+ (Да:2)2 + (Да:3)2= g (Да:“еа, Д-Лр) =
= AxaAsfg (ва, вр) = Дд:аДа:рт]ар при любом выборе Axa =Ф
-1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
в любой лоренцевой системе отсчета.
(2.10)
Метрика
определяется
как машина
для вычисления
скалярного
произведения
векторов
Метрические
коэффициенты
I
Вычисление скалярного пронаведеняя по еомпонеятам векторов
Представление 1-формы
О ПОМОЩЬЮ BI де Бройля
Вектор
переоекает 1-форму
