Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
В данной книге в качестве стандартной единицы, в которой выражены все величины, используется сантиметр. Однако изредка употребляются обычные единицы; в таких случаях иногда (но не всегда) измеряемая величина снабжается индексом «обычн»:
ЛГ©обычн = 1,989-IO33 г.
I
72 Геометродинамика в кратком изложении
§ 1.7. ВОЗДЕЙСТВИЕ МАТЕРИИ НА ГЕОМЕТРИЮ
Всякое тяжелое тело с известным весом,
находящееся на определенном расстоянии от центра мира,
изменяет свой вес в соответствии с изменением расстояния
от центра, так что при удалении от центра
оно становится тяжелее,
а при приближении к нему — легче.
По этой причине силы тяготения находятся в таком же отношении друг к другу, как расстояния от центра.
АЛЬ ХАЗИНИ (1115 г.н.э.)
На фиг. 1.12 показан шар, плотность вещества в котором р = 5,52 г/см3 совпадает со средней плотностью Земли. В шаре просверлено отверстие. В этом отверстии две пробные частицы А и В совершают простые гармонические колебания с периодом 84 мин. Вектор %, разделяющий геодезические этих частиц, оче-
ФИГ. 1.12.
Частицы А и В движутся туда и обратно в отверстии, просверленном в Земле, которая предполагается состоящей из вещества с однородной плотностью. На радиусе г ньютоновское ускорение частицы составляет
«Pr ___ 1 (Pr
It2"
с2 ^обычн
G
G (масса внутри радиуса г) _
[С2
[4л
______/ G \ /J4я
~ \ г2сг / V 3
S —0)2 г.
Отсюда видно, что каждая частица совершает простые гармонические колебания с той же угловой частотой, с которой спутник движется по круговой орбите, касающейся поверхности данной модели Земли:
Zff
(О2 (CM-2)=—g- P (CM-2),
.ч 2
обычн
(с-2)— —д~ Робычн (г/см3).
§ U7, Воздействие материи на геометрию 73
I
видно, тоже совершает простые периодические колебания с тем же периодом 84 мин независимо от того, куда он направлен:
cPg/dx2= - (ур)^, ; — у, z. (1.15)
Сравнивая это движение с уравнением отклонения геодезических (1.13) для медленных частиц в почти инерциальной системе отсчета, мы можем выписать некоторые из компонент кривизны для внутренних областей данной модели Земли:
¦R* OxtS Rhi о R1 OxS 1 0 0
Р*л/> л л OvO D Vaaa Jti OyO R7 иуи ¦¦ (4яр/3) 0 1 0
ПХ.АЛ Л OzO ДгКо R7 0 г 0 0 0 1
Этот пример иллюстрирует ту связь, которая существует между кривизной пространства-времени и распределением материи.
Предположим, что через Землю проходит гравитационная волна от вспышки сверхновой. Пусть Земля состоит из идеального несжимаемого материала, плотность которого практически не изменяется. В волне кривизна пространства-времени покрывается «рябью», распространяющейся со скоростью света. Рябь проявится в компонентах R^oho тензора Римана и в относительном ускорении двух пробных частиц. Левая часть уравнения (1.16) «покроется рябью», а правая часть не изменится. Равенство (1.16) нарушится. Риманова кривизна не будет более прямым следствием лишь того, что в данном месте присутствует вещество Земли.
Тем не менее, согласно теории Эйнштейна, часть уравнения (1.16), а именно его след
^0 0 = ^*020 +-r^oSo + -Я* о?S = (1-17)
не изменяется при наличии гравитационной волны. Это справедливо и в вакууме вне Земли; там обе части уравнения равны нулю [ср. (1.14)].
В общем случае некоторая часть тензора Римана, называемая тензором Эйнштейна и обозначаемая б, всегда генерируется непосредственно локальным распределением материи. Тензор Эйнштейна является геометрическим объектом, обобщающим Rgg в левой части уравнения (1.17). Как и Rgg, тензор Эйнштейна G получается из тензора Римана R при некотором усреднении по всем направлениям. Геометрическим объектом, генерирующим G и обобщающим правую часть уравнения (1.16), является так называемый тензор энергии-импульса материи. Его обозначают Т. Для определения тензоров G и T не нужны координаты; подобно тензору Римана R и метрическому тензору g они существуют и тогда, когда нет никаких координат. Более того, эти тензоры
Теивор Pmiun внутри Земли
Влияние гравитационной волн ык на теяаор Рвиана
Введение
теваора
Эйнштейна
Введение
тензора
энергии-нмпуам»
)
74 Геометродинамика в кратком изложении
Уравнение
поля Эйнштейна:
¦и материя
искривляет
пространство-
время
Следствия на эйнштейновского уравнения поля
Приложения айнштейно вского уравнения поля
УПРАЖНЕНИЯ
всегда равны друг другу с точностью до множителя 8л:
б = 8яТ. (1.18)
Это уравнение поля Эйнштейна; переписанное в компонентах в произвольной системе координат, оно имеет вид
<?аЭ = 8яГаэ. (1.19)
Уравнение поля Эйнштейна изящно и очень богато по содержанию. Ни одно уравнение физики не имеет более простой записи. И ни одно из них не имеет столько приложений и следствий.
Уравнение поля показывает, как энергия-импульс материи приводит к появлению вокруг себя средней кривизны (G). В то же время уравнение поля является уравнением распространения для остальной, анизотропной части кривизны: оно описывает кривизну внешней части пространства-времени для статического источника (Земля), оно описывает излучение гравитационных волн (рябь в кривизне пространства-времени) энергией-импульсом движущейся материи и распространение этих волн во Вселенной. Уравнение поля содержит в себе уравнение движения («сила=масса X ускорение») материи, тензор энергии-импульса которой создает кривизну.
