Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
а. Пусть
п = п* д/дх + nv д/ду + пг d/dz есть вектор в эвклидовом пространстве. Покажите, что
Mn (t) = exp [(HxMi + пуЖ2 + пгЖ3) t] (10.29)
есть матрица поворота осей эвклидова пространства на угол t\n\ = t[ (п*)* + (Wv)2 + (п2)*]»/*
вокруг направления п. (Матрицы Stff определены в упражнении 9.13.)
б. В групповом многообразии SO (3) выберем точку (матрицу поворота) ^aeSs возьмем касательный вектор и = ивва. Пусть
§ 10.5. Уравнение геодезических 327
2
УПРАЖНЕНИЯ
w —вектор в эклидовом пространстве с такими же компонентами, которые и имеет в SO (3):
цві^ві+іАг + ^вз» U = U1 д/дх + игд/ду-\-и3 d/dz. (10.30) Покажите, что и есть касательный вектор (при t — 0) к кривой
Кривая cS (t), которую можно провести через произвольную точку Sli и которой можно приписать в этой точке произвольный касательный вектор U = (<M!dt)t=o, обладает крайне специфическим свойством: каждая точка на ней отличается от Si поворотом Mu (t) вокруг одного и того же направления и. Никакая другая кривая в SO (3) с «начальными условиями» {<9\ и} не обладает такой замечательной простотой. Поэтому было бы естественным постановить, что каждая такая кривая $ (t) есть геодезическая в групповом многообразии SO (3). Такое постановление наделяет
SO (S) новой геометрической структурой: оно превращает SO (3) из дифференцируемого многообразия в нечто более специальное — аффинное многообразие.
Нет никаких гарантий, что в произвольном многообразии произвольное семейство кривых можно по определению назвать геодезическими. Большая часть таких семейств кривых просто не обладает нужными геометрическими свйствами, чтобы выступать в роли геодезических. Большинство из них приводит к таким ковариант-ным производным, для которых нарушаются одно или более из основных условий (10.2). Чтобы узнать, возможен ли данный выбор геодезических, можно попытаться найти коэффициенты связности r®Bv (в некотором фиксированном базисе), соответствующие выбранным геодезическим. Если такая попытка удается, то данный выбор геодезических возможен. Если же в процессе нахождения Taev возникают противоречия, то выбранное семейство кривых не обладает нужными геометрическими свойствами, чтобы выступать в роли геодезических.
в. Найдите в базисе генераторов {ea} коэффициенты связности, соответствующие выбранным нами геодезическим cS (t) = Mu (t) 3і группового многообразия SO (3). Указание. Покажите, что компоненты иа = <ю“, и > касательного вектора u = d&ldt данной геодезической не зависят от положения & (t) на геодезической. Затем с помощью уравнения геодезических VuU = 0, разложенного по базису {еа}, найдите симметричную часть коэффициентов связности Px(Pv)' И, наконец, воспользовавшись соотношением (10.23), получите P*[pv]- [Ответ:
(10.31)
(10.32)
где eapv — совершенно антисимметричный символ, причем е12Ь = = +1. Полученный ответ не зависит от положения 5s в SO (3)!]
2
II. ОТКЛОНЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ И КРИВИЗНА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Краткий обзор главы
Эта глава целиком относится к курсу 2.
Необходимым подготовительным материалом для нее являются главы 9 и 10. Она нужна в качестве подготовительного материала для
1) глав 12 и 13 (ньютоновское тяготение; риманова геометрия),
2) второй половины гл. 14 (вычисление кривизны) и
3) подробностей, но не идеи гл. 15 (тождества Бианки).
§ 11.1. КРИВИЗНА, НАКОНЕЦ-ТО!
Кривизна пространства-времени проявляется в виде гравитации, в отклонении одной геодезической от другой близкой геодезической (относительное ускорение пробных частиц).
Пусть геодезические пространства-времени известны. Тогда известны также ковариантная производная V и ее коэффициенты связности Fxbv. Как, располагая этой информацией, дать определение, вычислить и понять отклонение геодезических и кривизну пространства-времени? Ответ раскрывается в данной главе и кратко изложен в дополнении 11.1. Чтобы получить ответ, необходимо: 1) определить «вектор относительного ускорения» VuVull, служащий мерой отклонения одной геодезической от другой (§ 11.2); 2) найти выражение для «риманова тензора кривизны», который заставляет геодезические отклоняться, в терминах V или Tapv (§ 11.3); 3) увидеть риманову кривизну в действии, когда она приводит к изменению векторов, перенесенных параллельно вдоль замкнутого контура (§ 11.4); 4) ознакомиться с тем, как риманова кривизна позволяет проверить, является ли простран-ство-время плоским (§ 11.5); 5) построить специальную систему координат — «нормальные римановы координаты», которые особым образом связаны с римановым тензором кривизны (§ 11.6).
§ 11.2. Относительное ускорение соседних геодезических 329
2
§ 11.2. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ СОСЕДНИХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
Рассмотрим семейство геодезических (фиг. 11.1). Пусть одна геодезическая отличается от другой значением «параметра отбора» п. В семейство входят не только геодезические п = 0, 1, 2, . . ., но и все геодезические с промежуточными значениями парамера п. Точка принадлежащая геодезической семейства, является непрерывной и дважды дифференцируемой функцией двух переменных: параметра отбора п и аффинного параметра X: