Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(SepyMpv); a = S“PV; oA/pV + SapvMpv, «.
Убедитесь в справедливости этого правила, выразив обе части равенства через производные по направлению (деа) и поправочные члены с коэффициентами связности. Указание. Левая часть
21*
УПРАЖНЕНИЯ
2
324 10. Аффинная геометрия
УПРАЖНЕНИЯ
равна
(sa\Mf), e=(SaViV). в+т\а (S^yMf).
[S°\a М?+SatiyMf?,*, согласно правилу нахождения производной по направлению от произ-L ведения
В правой части гораздо больше поправочных членов (три для ?вРу;а‘> Два для MBv;a), но они должны взаимно уничтожиться, оставив в результате лишь один.
10.13. Закон преобразования коэффициентов связности
Пусть {ва} и {в(і-} — два различных поля базисных векторов, связанных законом преобразования
er (IP) = LtV (&) Ba (Si). (10.25)
Покажите, что соответствующие коэффициенты связности удовлетворяют соотношению
IeVr = La',L^LvrTpliv+La'г. (10.26)
обычный закон преобразования компонент тензора
10.14. Полярные координаты в плоском двумерном пространстве
Изобразите на листе бумаги полярную систему координат (г, ф). Нарисуйте в соседних точках базисные векторы ер = д/дг и s г~1д/дф. а. Используя этот чертеж и параллельный перенос в эвклидовом случае, обоснуйте соотношения
V-e;=0, V9ej = 0, = V^ej = -T-1B-.
б. Исходя из этих соотношений, выпишите коэффициенты связности. в. Пусть А = Аг в р + А* вj — векторное поле. Покажите, что его дивергенцию
V-A = Aira = Aa -+TaiiAii
можно вычислять по формуле
- . 1 дА* , 1 д(гА7)
г дф ‘ г дг
(которая должна быть знакома большинству читателей).
§ 10.5. Уравнение геодезических 325
2
§ 10.5. УРАВНЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
С геодезических — параметризованных траекторий свободно падающих частиц — мы начали изложение в данной главе. Основываясь на них, мы построили параллельный перенос (лестница Шилда, дополнение 10.2); параллельный перенос в свою очередь позволил нам определить ковариантную производную и коэффициенты связности. Овладев ковариантным дифференцированием, мы снова вернулись к геодезическим: они представляют собой кривые, касательный вектор которых u = dzP/dX удовлетворяет уравнению VuU = 0 (и переносится параллельно вдоль самого себя).
Пусть задана система координат {х“ («Р)}. Пусть далее в касательном пространстве каждого события ею определяются базисные векторы в а = д/дха. Пусть заданы коэффициенты связности Г“ву этого «координатного базиса». Тогда уравнение геодезических VuU =Ob компонентпой записи принимает вид дифференциального уравнения относительно координат геодезической ха (Я):
ж V d dxa д dxa
1) U = -гг- = - j,-— =>- компоненты и равны иа = —тг— ;
' аК dA Qxa- r dA ’
2) тогда компонентами VuU = 0 являются
0 = иа- puP = (и“, р + r“vPuv) цЭ =
д I dxa \ dx^ ра dx^ dx&
1“53Г )~d\~+l VtiHT ~Ж~' что сводится к дифференциальному уравнению
-Sf+r'v.-frT-0' d»-27)
Эта компонентная запись уравнения геодезических дает аналитический метод («перевод» лестницы Шилда на язык формул) построения закона параллельного переноса по известным геодезическим. Выберем событие и введем в его окрестности систему координат. Проследим за движением многих частиц, проходящих через (или бесконечно близко K Si0) и несущих с собой часы. Для каждой из частиц определим значення (I2XaIdX2 и dxa/dX в Zp10. Подставим все полученные значения для большого числа частиц в уравнение (10.27) и разрешим его относительно коэффициентов связности. Нас не беспокоит тот факт, что мы найдем при этом лишь симметричную часть Tav в, поскольку антисимметричная часть ra[Vpj тождественно обращается в нуль в любой координатной системе отсчета! (Cm. упражнение 10.9.) Зная коэффициенты Tave, мы можем с их помощью осуществить параллельный перенос любого вектора вдоль любой кривой, проходящей через #0:]
V„v = 0<^-^ + r“vpyV-^ = 0. (10.28)
Уравнение геодез ичеокнх: абстрактный внд
Запись
в компонентах
Как, зная геодезические, найтн закон параллельного переноса
2
326 10. Аффинная геометрия
УПРАЖНЕНИЯ
10.15. Компоненты закона параллельного переноса
Покажите, что уравнение (10.28) представляет собой компонентную запись закона параллельного переноса вектора у вдоль кривой (X) с касательным вектором U = d&'/dX.
10.16. Геодезические в полярных координатах
В прямоугольных координатах на плоском листе бумаги эвклидовы прямые линии (геодезические) удовлетворяют уравнениям cPx/dX* = (PyIdXi = 0. Преобразуйте эти уравнения геодезических к полярным координатам (х = г cos ф, у = г sin ф) и, сравнив результат с (10.27), найдите коэффициенты связности. Последние будут коэффициентами связности для координатного базиса (д/дг, д/дф). Исходя из них, найдите коэффициенты связности для базиса
о _ 9 а 1 д
вг — дг ' вФ _ г дф *
Результат должен совпасть с ответом упражнения 10.14 (б). Указание. Воспользуйтесь соотношениями вида
Ve.e; = Vd/гхэ/эф) (д/дг) = -у Ve/вф(д/дг).
10.17. Группа вращений: геодезические и коэффициенты связности
(Продолжение упражнений 9.13 и 9.14.) При изучении группы вращений необходимо проводить четкое различие между эвклидовым пространством (координаты х, у, z; базисные векторы д/дх, д/ду, d/dz), в котором действуют матрицы вращения, и групповым многообразием SO (3) (координаты г|), 0, ф; координатный базис З/дф, <9/<90, д/дф\ базис «генераторов* ех, в2, в3), точками Si которого являются матрицы поворотов.