Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Vv(..., u) = VuV,
пустой Vv (a, U) = (а, VuV).
5. Сводка определенных выше понятий:
а. V — оператор ковариантной производной; он образует число, если в него ввести a, V (Si) и и; в результате получается <а, VuV).
6. W — градиент V; он образует число, если в него ввести о в и; в результате также получается {о, VuV).
в. VuV — ковариантная производная V вдоль и; она образует число, если в нее ввести о; в результате также получается (a, VuV).
Б. Чем V отличается от тензора
Машина V отличается от тензора в двух отношениях: I. В средний канал V нельзя вводить вектор; в него нужно вводить векторное поле — векторное поле, которое дифференцируется. 2. V не является линейной машиной (тогда как тензор должен быть линейной машиной):
V (аа, / (Si) V (Si)1 Ьи) = (аа, Vbu/v> =
= abf (a, VuV) + ab <«т, v) V„/.
,-e11I
если бы V был линейной машиной, этого члена не было бы
В. «Коэффициенты связности» как компоненты V
Пусть в событии Si0 заданы тенвор S ранга ( ? ) ’ базис касательных векторов {вс}
и дуальный ему базис 1-форм {юв}; тогда компоненты S определяются следующим образом:
5“pvsS(«>“, Єр, ev).
Точно так же можно определить и компоненты V, с той лишь разницей, что в этом случае нужен ге только базис {еа} в событии Si0, но также и базис {ва (Si)) в каждом событии Si в его окрестности:
r“ev = компоненты V=V (ю®, ер (Si), ev) =
= I “ V о N ~ (а-компонента изменения базисного вектора ер\
(<» , VevBp; 5? ^ при переходе от основания к острию Bv /•
§ 10.4. Ковариантная производная: компонентное представл. 319
2
Эти компоненты V называются коэффициентами связности базиса {еа}. Они дают «координатное представление» оператора ковариантной производной V.
Оператор ковариантной производной V и коэффициенты связности Tetiv дают разные представления одного и того же геометрического объекта? Невероятно\ Один объект связан с выполнением каких-то операций при перемещении с места на место (например нахождением разности между значениями векторного поля в двух разных, хотя и близких местах). Другой объект, наделенный сорока компонентами {упражнение 10.9), жестко связан с одной течкой. Трудно вообразить болеее глубокое различие между двумя объектами. И есе же сни выполняют одну и ту же операцию в любом мире, совместимом с принципом эквивалентности:
1) они воплощают в себе свойства всех геодезических, которые проходят через интересующую нас точку, и тем самым 2) они дакт физический метод (параллельный перенос), позволяющий сравнивать значения векторных и тензорных полей в двух соседних точках.
§ 10.4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ: КОМПОНЕНТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Используя наглядное представление, легче уловить математическую идею; благодаря абстрактному подходу эти идеи становятся точными; однако для проведения сложных вычислений, как правило, необходимо пользоваться компонентным представлением.
Чтобы оперировать с компонентами, нужно иметь совокупность базисных векторов {еа} и дуальную совокупность базисных 1-форм {©“}. В плоском пространстве-времени достаточно одного такого базиса; все события могут использовать один и тот же Лоренцев базис. Иначе обстоит дело в искривленном пространстве-времени. Здесь у каждого события свое касательное пространство, а в каждом касательном пространстве должен быть свой базис. По мере того как мы переходим от события к событию, сравнивая их базисы посредством параллельного переноса, мы видим, что эти базисы закручиваются и поворачиваются. Иначе и быть не может. Для них нет другого способа приспособиться к кривизне пространства-времени. Базисы в точках Si0 и St1, которые совпадают при сравнении с помощью параллельного переноса вдоль одной кривой, должны отличаться при сравнении вдоль другой кривой (CM. гл. 11).
Для описания кручения и поворотов «поля» базисных векторов {еа (<SF)} и 1-форм {©f (SIi)) воспользуемся ковариантной производной. Рассмотрим, как векторные поля изменяются вдоль базисного вектора ер, вводя сокращенное обозначение
Vp (определение Vp); (10.12)
в особенности остановимся на скорости изменения одного из базисных векторов V веа. Эта скорость изменения сама является векто-
2
320 10• Аффинная геометрия
ром и может быть разложена по базису:
Определение
коэффициентов
связности
Компоненты градиента тензорного поля
Твва = вцГЦар (Определение ГЦар) (10.13)
(обратите внимание на обратный порядок а и (І!); получающиеся
в результате коэффициенты связности ]>а в можно найти, проектируя на базисные 1-формы:
«о»1, Vpe») = ^ (10-14)
(см. упражнение 10.7, а также дополнение 10.3). Поскольку базисные 1-формы «завязаны» с базисными векторами ((<ov, ва > = = 6V0), те же коэффициенты связности Pvafj позволяют описать изменение от точки к точке базиса 1-форм:
Vptov=-Taewa, (10.15)
(Vp<Ov, Ba)= -Пар (10.16)
(см. упражнение 10.8).
Этим не исчерпываются возможности коэффициентов связности. С их помощью можно найти компоненты градиента произвольного тензора S. В лоренцевой системе плоского пространства-времени компоненты VS можно получить, подействовав базисными векторами 0« = дQfiIdxa = Oldxa на компоненты S. Таким образом,
