Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Решение: охарактеризуем события тем, что в них происходит
3-01457
I
34 Геометродинамика в кратком изложении
Наименование события может быть любым
Координаты— удобный споооб давать
наименования
В общем случае координаты не являютея мерой длины
Можно
одновременно
пользоваться
различными
системами
координат
Векторы
Джеймс и Пикадилли. Никаких номеров. Никакой координатной системы. Никаких координат.
Тот факт, что большинство улиц в Японии не имеет названий, а большинство домов — номеров, демонстрирует нашу способность обходиться без координат. Можно отказаться от обозначения события путем указания двух мировых линий, на пересечении которых оно находится. Точно так же, как в Японии можно найти дом по имени его хозяина, определенным событиям в пространстве-времени можно давать произвольные наименования, как это част» и делается (дополнение 1.1).
Ho удобнее все-таки пользоваться координатами. Разве есть какой-либо иной способ легко определить (когда перед вами лежит огромный и толстый каталог хаотически расположенных событий), что на данной мировой линии сначала столкнешься с событием Тринити, затем Бэйкер, потом Майк, потом Аргус, а, скажем, не с теми же событиями, но в другом порядке?
Чтобы упорядочить события, введем координаты (фиг. 1.3)1 Координаты — это четыре числа с индексами, поставленные в соответствие событию в пространстве-времени; на листе бумаги — только два числа. У события Тринити появляются координаты
(х°, Xі, х\ г») = (77, 23, 64, И).
Когда событиям дают координатные наименования, процесс измерения отходит на задний план и требуется лишь выполнение гладкости. Четыре числа, соответствующие событию, есть не что иное, как своего рода усовершенствованный телефонный номер. Путем сравнения «телефонных номеров» вы можете узнать, являются ли два события близкими. Ho даже не пытайтесь по разнице в телефонных номерах выяснить, сколько метров разделяет эти события!
Так же, как никто не мешает абонентам пользоваться услугами различных конкурирующих телефонных сетей, так и события можно описывать в различных системах координат (фиг. 1.3). В дополнении 1.1 демонстрируются соотношения между различными системами координат, а также используемая система обозначений для координат и их преобразований.
Выберем два события, являющихся близкими, о чем мы можем судить по близости значений их координат в некоторой гладкой координатной системе. Нарисуем маленькую стрелку, направленную от одного из них к другому. Такая стрелка называется вектором. (Это понятие хорошо определено для плоского пространства-времени пли для искривленного пространства-времени в пределе бесконечно малой длины; в случае конечной длины в искривленном пространстве-времени ему надо дать более строгое и точное определение, после чего оно появляется под названием «касательный вектор», см. гл. 9.) Вектору, так же как и событиям, можно дать наименование. Ho назовем ли мы его Джон, Чарлз или Кип, он остается строго и однозначно определенным гео-
§ 1.2
Пространство-время с координатами и без них 35
• ¦
?
ФИГ. 1.3.
Вверху. Событиям сообщаются «телефонные номера» посредством системы координат. Когда говорят, что система координат «гладкая», имеют в виду, что близкие события имеют близкие значения координат. Внизу. Te же самые события упорядочены иным образом с помощью другой системы координат. Здесь выбраны два конкретных соседних события: событие (к с координатами (я®, я1) = (77,2, 22,6) и (х°, х1) = (18,5, 51,4) и событие 3’ с координатами (х®, Xі) = (79,9, 20,1) и (х®, Xі) = (18,4, 47,1). Между событиями <Ц я лежит «вектор» который их разделяет. [Для точного определения вектора в искривленном пространстве-времени требуется перейти к пределу, когда две точки бесконечно приближаются друг к другу (разность 3'' — Cl уменьшается в N раз), с последующим умножением этой разности на N, но уже в локально плоском пространстве, получившемся в результате этой процедуры (lim N во-, «касательное пространство», «касательный вектор»). Здесь мы отказываемся от абсолютной строгости, поэтому слово «вектор» взято в кавычки.] В каждой системе координат разделяющий вектор % характеризуется «компонентами» (разностью значений координат событий ?f° и й):
(Iе, Iі) = (79,9 - 77,2, 20,1 - 22,6) = (2,7, -2,5),
(|®, ?i) = (18,4 - 18,5, 47,1 - 51,4) = (-0,1, -4,3).
Подробнее о событиях, координатах и векторах см. дополнение 1.1.
3*
I
36 I' Геометродинамика о кратком изложении
как правило, нельзя взбежать координатній* сингулярностей
ФИГ. 1.4.
Как возникает чисто координатная сингулярность. Вверху. Система координат становится сингулярной, когда «ячейки в коробке для яиц» сплющиваются до нулевого объема. Внизу. Пример, демонстрирующий такого рода сингулярность в шварцшильдовских координатах г, <, часто используемых для описания геометрии в окрестности черных дыр (гл. 31). Угловые координаты 6, ф для простоты опущены. Сингулярность проявляется в двух аспектах. Во-первых, все точки вдоль пунктирной линии, будучи совершенно различными, обозначены одной и той же парой значений (г, t), а именно г = 2т, t = оо. Координаты не дают возможности различить эти точки. Во-вторых, «ячейки для яиц», одна из которых на рисунке заштрихована, вдоль пунктирной линии сжаты до нулевого объема. В итоге можно сказать, что в самой геометрии на пунктирной линии нет ничего особенного: вся сингулярность заключается в системе координат («плохая система телефонных номеров»). То случайное обстоятельство, что координата t обращается в бесконечность на пунктирной линии, не должно приводить к путанице. От этой бесконечности можно избавиться, если вместо t ввести новую координату 7, определяемую соотношением
