Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
является константой нормировки. (Заметим, что поскольку уравнение (6.19)
инвариантно по отношению замены х-*--х, то для каждого р., К, а это
уравнение имеет как единственное четное решение по х, так и единственное
нечетное решение с точностью до некоторой мультипликативной константы
нормировки.) Кроме того,
х{ = (и2 - v2) w/2 + a/w, х2 = uvw, t = w.
Система Rc определяется уравнениями
Щ = рf, {Ди Prf f = pf,
причем базисные собственные функции имеют вид
гс* (х) = (2л)-1 (х1)-а_1/2 (х2):^-1/2,
- оо < X, р < оо, е, е' = ±, 1 = р - р;
см. (1.46), Соотношения ортогональности имеют вид
(ГСТ'а> rCLa) = 6еА'е'6 (Я. - Л.) ft (р - р.).
Собственные функции от трех переменных определяются соотношением
(*> х)= (8я2ш)-1 [ехр (/л/4) (2ш)1/2] 1 (X+M')+1 X
X Г (i/2 - Щ Г (>/2 - ip) ехр [<(-,8^°-)-] X
X DiX-Vt ( (2i)1/2) ( (2i)1/2) ' ( ^ (6.23)
184 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
где х\ = \ w\l/2u, х2 = |до|1/2п, t = w. Остальные базисные функ-дни от
трех переменных определяются равенствами
Яс&+ ("" v) = ехР [" (* + я + I*)] Rc^~ (- и, -v) =
= ехр [я (i/2 + Я)] Rc^+ (- и, v) =
= ехр [я (i/2 + ji)] Rc+~ (и, -v). (6.24)
Система Rr определяется уравнениями ?Df = ipf, JCf = imf.
Собственные функции вида
ггр, m (х) = (2я)-1 r<p-1e<mB, - оо < р < оо, т = 0, ±1.....^ ^
Х\ = г cos 0, x2 = rsin0, удовлетворяют следующим соотношениям
ортогональности-
(ГГ о, ту ГГ o', т'} = бтт'б (р р ).
Базисные функции от трех переменных имеют вид *•""((, X) = ехр [/я (3"
- !¦+ "> ] "-У*-* X
хГ С 2 J Г(^П) ''Ч т + 1 I - JехРМ* <6-26)
где _
х\ = д/гй и cos о, х2 = V(r) и sin / = а>>0.
Система Re определяется уравнениями
3>f = Щ, (.Ж2 + У2 {Я2> ^2}) f = ц/.
Ортонормальный базис собственных функций имеет вид
ге+т (х) = (2л) ~1/2 ra~lGcm (0, % - Я), (6.27а)
гея-т(х)==(2яГ1/2г^-1С5т(0, У4> -Я), (6.276)
т = 0, 1, 2, ..., - оо < Я < оо,
где Х\ = г cos 0, х2 = г sin 0 и введены следующие обозначения; Gcm(0,
У4, - Я) = ехр[/cos(20)/16]g-cm(0, 'Д, -Я),
Gsm (0, *Д, - Я) = ехр [г cos (20)/I6]^sm (0, 'Д, -Я).
Функции gcm(0, а, р), gsm(0, а, Р) суть соответственно четное и нечетное
неполиномиальные решения уравнения Уиттекера - Хилла
4аГ+ (р + If + aPcos 26 - 'у cos 49) § = 0 (6.28)
2.6. Базисы и м.э. с. б. для уравнения Шредингера 185
с периодом, равным 2п. Нижний индекс т (число нулей на отрезке [0,2л])
отмечает дискретные собственные значения р = оператора Ж2 + */г{^2, ^г}-
Эти обозначения введены Урвином и Арскоттом [127]. Каждое из решений Gcm
и Gsm можно представить в виде бесконечного тригонометрического ряда по
cos л0 и sin пв соответственно, сходящегося для дискретных собственных
значений рт. Соотношения ортогональности имеют вид
(retm' ret'm) = *') Ьтт; ("&, ГвЦ) = О,
причем базисные функции от трех переменных определяются соотношениями
#etm V' х) = K)^w^-^2Gcm (iu, V4, - X) Gcm (v, 1U. - Я.),
Re;m(t, x) = W-w">-WGsm{iu, V4, -X)Gsm(v, lh, -X), (6-29) где
= д/ау ch"cos v, x2 = ^Jw sh и sin v, t = до > 0.
В принципе константы Km* можно вычислить; для этого нужно лишь выбрать
частные значения параметров и, V, до. В самом деле, в процессе нахождения
функций Re± при помощи разделения переменных мы получаем соотношения
КХт Gcm (iu, */4t - X) Gcm (v, V4, - X) = exp [/ (sh2 и + cos2 v)/4] X
Я
X ^ Gcm (0, l/it - X) exp [- / (ch и cos v cos 0 -f- sh и sin v sin
0)2/8] X
-Я
X.Dtt-i(- [ch"cos v cos 0 + sh" sin v sin 0]/(2Z)1/2) dQ
и аналогичные соотношения для функций Gsn(9, J/4, -X). Константы /(ш*
вычисляются при конкретных значениях аргумен-
00
тов; например, если Gcm(9, l/it - Я,)=з?Л(tm) cos2&0, то
А-0
Km+ = 2я?)д_1 (0) A(tm) [Gcm (я/2, >/4, ~X)Gcm( О, XU, -Я,)]-1.
На этом мы закончим определение базисов пространства решений уравнения
Шредингера (5.2).
Так же как в разд. 2.1, можно показать, что эти результаты приводят к
целому ряду теорем относительно расширения гильбертова пространства. Так,
если {fxu}-о.и. базис для L2(R2), то {U(g)/X(i} для любого g е G3 также
является о. и. базисом. В частности, каждая из построенных выше моделей в
случае трех переменных обеспечивает базис для L2(/?2) (а также базис
решений уравнения (5.2)). Кроме того, для каждого базиса
186 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
можно получить дискретные и непрерывные производящие функции.
Теперь определим некоторые м.э. с. б. (Aov, ВЬх'ц'), которые позволят нам
разложить собственные функции Аа\а по собственным функциям Bbi'n'.
Полезность этих формул заключается в том, что они инвариантны под
действием группы G, и, следовательно, эти же выражения позволят нам
выполнить разложение U (§)Лй^ц по U (g)Bbi'iL't где результаты могут быть
гораздо менее очевидными. Ниже мы вычислим некоторые представляющие
определенный интерес м. э. с. б., используя для этого базисы по двум
переменным. Вследствие инвариантности G3 аналогичные результаты имеют
место и для базисов по трем переменным.
Мы не рассматриваем здесь м.э.с. б., связанные с дискретным базисом ое.
