Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяют произведения многочленов Айнса. Этот интеграл можно
вычислить (способ вычисления аналогичен вычислению (3.38) в разд. 1.3),
так как нам заранее известно, что этот интеграл является решением
уравнения Шредингера с /^-разделенными переменными и, v, w.
В остальных случаях, перечисленных в табл. 12, с каждой орбитой всегда
связаны две системы координат. Для простоты мы всегда будем рассматривать
только систему координат с верхним индексом 1. Соответствующие результаты
для систем с индексом 2 получаются немедленно после применения унитарных
операторов J или /2 (см. (5.16) и (5.17)).
Система Fc определяется так:
iX2f = - 'Ay2/. &if = l/iiy cos (a) f и имеет базис обобщенных
собственных функций
fcs, a(x) = r~ll26(r - y)6(0 - a), 0<а<2л, 0<y.
(fcy, a, fcy\ a') = 6 (y - yO 6 (a - a'), xi = r cos 0, x2 = r sin 0.
Базисные функции от трех переменных Fcy,a(t,x) = = ехр (tJ^-2) fcyt а(х)
имеют вид
fW'. '¦(".-V °".)¦+(".-У .I..)-!}. (69)
Система координат Fr определяется уравнениями
ВД = -74у2А iJCf = - mf
с базисом
fry, m (х) = (2лг)"1/2 6 (г - у) eim%, {fry, m, fry', m) = 6 (y - y')
6mm',
(6.10)
где O^y. m - 0, ±1 a r, 0 - полярные координаты. Базисными функциями от
трех переменных являются
Fry, m(t, х) = (•?)1/2ехр['(r'jp-]-]ехр(imQ) J,п (^) .
(6.11)
где Jm(z) -функция Бесселя.
Система Fp определяется уравнениями
ЭД = - 'Ay2/, Jt) /= - Ы,
2.6. Базисы и м.. з с. б. для уравнения Шредингера 181
причем базис собственных функций имеет вид
| (2яг)"1/2(1 +cos0)"f,i/2_1/4(l -cos0)i,V2"1/46(r-Y),
= < -я<0<О,
1 0, О<0<я,
fP;. u М = fPy., 0) = fP$ u (г, - 6). (6.12)
где г, 0 - полярные координаты, О ^ у, -оо < р <; оо, спектр непрерывен и
имеет кратность, равную двум. Соотношения ортогональности записываются
так:
(fp$ *> fpp. w) = 6 (Y ~ Y7) б (р - р'), (fp± 14, fp^_ ^,) = 0.
Базисные функции от трех переменных определяются соотношениями
Fp+ ц ч _ fyl/a ехр (rf/u) f j (f + n2)2 ^ x rpxl - 23ntcos{ipn) eXpV 16i
X [Т)-гц/2-1/2 1/2) Dm2-1/2 (<гт]^ 1/2) + D-t^/2-112 (- о\t 1/2) X
X DM2-1/2 (- CXT|/_I/2)]> t > 0,
FP$ H = *Р$ -n X)'
Fp~ " (it, x2) = Fp+ ц (/, xv - x2), (6.13)
где о = v1/2 exp (in/4) a g, ti - параболические координаты
2x, = I2 - rf, x2 = |r).
Система Fe определяется уравнениями
iW2f = -lUyf, № + 43fl-4$Df = -pf
(эквивалентными уравнениям строки 4a табл. 12, так как Ж2 = - < (^i +
&1))- Базисные функции имеют вид
1/2а/. ..J сеп^0' Y2/2), п = 0, 1, 2, ...,
se_"(0, Y2/2). п = -1,-2..........
fes, п (х) = М 12 б (г
Y ^ 0. (fey,n, f^y', п') - б (у y)6nn'i (6.14)
где ce"(0, q), se"(0, q) - периодические функции Матье (Б.26) и г, 0 -
полярные координаты. Все собственные значения р = р" дискретны и имеют
кратность, равную единице. Базисные функции "(f, х) = ехр (fJS?_2)/eY,
"(х) записываются в виде
А / V \П2
Fey, п ((, х) = J ехр [гт (cos2 a -f sh2 р -f y2)] X
( се"(о, y2/2)Се"(р, y2/2), п = 0, 1, 2, ...,
Х I se_" (cr, y2/2) Se_"(p, f/2), п = -1, -2, ..., (6Л5>
182 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
где Ау,п - константа нормировки, Se"(p, q) и Се"(р, q)-модифицированные
функции Матье (3.40) (см. разд. 1.3) и
Х\ = - 2Tchpcoscr, х2 = - 2Tshpsincr, t = x.
Система Lc (преобразованная таким образом, что b =0) определяется
уравнениями
i(tf2 + a&i)f = kf, (r)\f = - '/4p2f, а =А= 0,
с базисными функциями вида
1°К¦ р(Х)= (2^ ] " | )'/2 exp[-/a"' (^1+Ti + l2')]' (6.16)
{1с%, р, Icy, р') = б (к - к') б (р - р'), - оо < к, р < оо.
Базисные функции от трех переменных имеют вид Lcx, р (/, х) =
=_____(9а>~'/3 ехоГг ((и2 + v2)-- - _____-Y1 Y
8iw (2л | а | )|/2 L \ 4 w 2 3w3 w)J
X Ai [(36a)-l/3 (7 + 7 + )]. (6.17)
где Ai (2)-функция Эйри ((1.52), разд. 2.1). В данном случае Х\ = uw -f-
ajw, x2 - vw, t = w.
Система Lp определяется уравнениями
I (Ж2 -I- fl^,) f = kf, ({Я2, Ж) + 0^2) f = tif, причем базисные функции
имеют вид
1Рк,п(х) = (2л\а I)_1/2(^2)ехР[-'(^i + *i*2/4+A:i/12)/a]>
(1Рк п' 1Р%'. п) = б (Я - к') Ьпп" - оо < Я< оо, (6.18)
n = 0, 1, 2......
В данном случае функция ангармонического осциллятора hn(x) является
решением уравнения
*Ш~ ~ (~Г + li*~ + ~щт) h (*) = °> а Фиксированы, (6.19) таким,что
00
5 \hn{x)\2dx= 1. (6.20)
•-00
Собственные значения р=цл(Я) уравнения (6.19) при условии (6.20) являются
дискретными (см. [102]) и имеют кратность,
2.6. Базисы и м. э. с. б. для уравнения Шредингера 183
равную единице; предполагается, что эти собственные значения упорядочены
таким образом, что р0 < pt С р2 С .... Функция ангармонического
осциллятора hn{x) либо четна, либо нечетна для каждого значения п.
Обозначим общее решение уравнения (6.19) через Лц,^(довыполняя разделение
переменных, легко показать, что базисные функции Lpi,n(t,x) = ex$(tW-
2)lpi,n(x) имеют вид
Lpx, п *)==
п _¦ Г . Г (и2 + v2)2w a(u2 - v2) а2 X "I ¦)
- С\, nW ехр I I р jg-^---------------4ш 12W2 аГ] } X
X Л2Ц", а/2 (и) й2ц К, а/2 {iv), (6.21)
где обе функции h имеют ту же четность, что и функции hn(x), а С\,п
