Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
По ходу дела мы уже пользовались следующей важной теоремой. Теорема Стокса—Гаусса. Если п-мерное многообразие Ш обладает границей д Ш (размерности п— 1),то J с/со = Jr со,
ж Ьт
где со — форма степени п — /. Граница может быть несвязной, и тогда в правой части равенства существенно учитывать знак (ориентацию) отдельных слагаемых.
При действии на форму производная Ли не меняет ее степени, и операция (1.6) или (1.9) прилагается непосредственно к ковариантным ком-
16
8a = — * d * а.
(1.27)
db + Sd = А = (d + «)2.
(1.28)
dd = 0 и бб = 0,
(1.29)
понентам определяющего тензора данной формы. Существенно, что эта операция может быть просто выражена через внешнее дифференцирование и дуальное сопряжение (последнее вместе с внешним умножением на ковектор, соответствующий векторному полю, по которому берется производная Ли, приводит к иногда используемому определению внутреннего произведения (156] iucj: =иасоар ’ ' ,<У) • Тогда
? со = (iud + diu) со, (1.30а)
и
что можно записать также как
? со = — * (и Л * с/со) - d * (и А * со). (1.306)
и
Отсюда непосредственно видно, что производная Ли перестановочна с операцией внешнего дифференцирования:
d? со = diudсо + ddiисо = ?dсо, и и
если учесть (1.29). Кроме того, эта запись позволяет дать производной Ли простую геометрическую интерпретацию. При бесконечно малом сдвиге формы со вдоль конгруэнции с касательным вектором ей с точностью до величин первого порядка малости по е получим
со(х + ей) - со(х) = е? со. (1.31)
и
Поэтому, если производная Ли некоторой формы со по отношению к векторному полю и равна нулю (говорят, что форма со инвариантна по отношению к этому полю), то данная форма не изменяется при движении вдоль линий с касательным вектором и. Отметим также, что левая часть
(1.31) описывает изменение вида компонент определяющего тензора формы со при соответствующем преобразовании координат. Это можно усмотреть из обычных соотношений для преобразований (1.2), (1.3), так как форма со по определению инвариантна относительно них: OJ M = CO'(х'). Поэтому из (1.31) для нее непосредственно следует соотношение (1.8).
Далее, если учесть, что форма~4-й степени в четырехмерном пространстве-времени всегда замкнута, при ее отрждествлении с формой со в соотношениях (1.30а) и (1.306) непосредственно приходим к (3.4) — основному соотношению для вывода теоремы Нетер. При этом лагранжиан удобно выразить на языке внешних форм как 4-форму ? (dx) [ср. с (1.25)]. Конечно, такое соотношение с самого начала предполагает выполнение стандартных коваринатных свойств лагранжиана как скалярной плотности, что и требуется при выводе теоремы Нетер.
Уравнения структуры Картана [48, 111, 58]. Пусть даны четыре базисные 1-формы ва. Тогда каждая из dOa будет 2-формой, и ее можно разложить по соответствующему базису:
d6a = FaorBaA вт. (1.32)
Это равенство содержит в качестве коэффициентов разложения коэффи-
17
циенты связности (лишь в натуральном базисе переходящие в обычные символы Кристоффеля), о которых будет идти речь в § 1.4. Разложение
(1.32) следует из правила ковариантного дифференцирования 1*форм:
Ve/3 = -rpffaea (1.33)
[ср. с ковариантной производной двойственного базиса (1.39)]. Введя 1-формы связности как
«в0 = rV0ff' (1-34)
перепишем (1.32) в виде
d0a = -шар A^. (1.35)
Эти соотношения носят название первых уравнений структуры Картана, хотя бы потому, что на практике они служат для нахождения форм связности [прямой путь их вычисления на основании определения (1.34) и выражения (1.43) часто оказывается сложнее]. Ho тогда следует дополнить систему еще уравнениями
d^ap = шор + ojIia- (1-36)
выражающими на языке форм свойство ковариантного постоянства метрики
Vea * вР) = 0
[при выводе (1.32) и (1.36) полезно учесть также возможный способ записи внешнего дифференциала (1.44)]. Если теперь на основании определения кривизны (1.45), (1.47) ввести понятие 2-формы кривизны
sfP : = -L я-2 lP7Se
ТО ДЛЯ нее сразу же I
па * и COa 7
А (1.37)
носящие название вторых уравнений структуры Картана и играющие важную роль в конкретных расчетах.
Заметим, что бывает удобно использовать жестко нормированный базис (в котором дan = const). В частных случаях это — ортонормирован-ная тетрада и тетрада Ньюмена—Пенроуза (изотропная комплексная тетрада со взаимной нормировкой); относительно последней см. подробнее § 1.8.
Пример. Расчет компонент кривизны для фридманодеких космологических моделей. Все три типа таких моделей — сферическую (при к =+1), параболическую ik =zO) и гиперболическую (А: = — 1) - можно описать с помощью единого вида метрики
A2 = e2Wt?2 - dX2 - S2Wfl2 + Sm2Odip2)),
18
если взять a = a (TJ), S (X) * sin(y/~k X) hfk*.
Ортонормированный базис 1-форм тогда задается в виде 0° = adT\\ в1 = adX; в2 = aSdO; в3 = aSsmOdip. Из соотношений
<Л?° = 0; M1=ArO0Ae1;
а
dd2 = -L Є°Л в2 + -A1A в2;
a2 aS
de3 = Агв°лв3 + -He1Ae3 +J^SlLe2Ae3
Э2 aS aS
при сравнении с (135) найдем
