Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
справедливо соотношение =X^. При этом пусть х^«х^ + 6^. Тогда из (1.2) следует Xq^ = х? = X^ + 6^.
Назовем разницу между моделью T (по результатам измерений Q) в точке P и реальными значениями компонент T в этой точке производной Ли:
Ta (хр) - Va (x'Q) = Ta [хр) - Г (Xp) = е?Та . (1.8)
Учитывая бесконечную близость точек P и Qt имеем
?Та =Taraf - Та\Х,г <1-9»
€
Из этих соотношений очевидно, что производная Ли тензора и тензорной плотности сохраняет свойства этих величин, а также что
Эд? = ?3^. (1.10)
При этом неоднородно преобразующийся объект (например, коэффициенты связности) при дифференцировании Ли дает соответствующий однородно преобразующийся объект. Как и всякая дифференциальная операция, производная Ли является линейным отображением, сохраняющим свертку, а также удовлетворяет правилу Лейбница:
? (S* Т) = (?S)*T + S*?T.
UU и
Коммутатор производных Ли по и и v в применении к ковекторному полю а (1-форме а) равен
[ ?, ? ]а = R (и, V )а — d (а - [и, V ]) + da [и, v] = ? а .
Uv [и, V]
В натуральном базисе производная Ли от метрического тензора, символов Кристоффеля и тензора кривизны дает соответственно:
л _ у , U П рХ _ Д I vKnX
19Iiv *fi; v *v; yt I ixv щ v ixkv
I ^kKixv “ ^kT^xv; cfc* + ^ctXixv^*; к + \ + ^кХш^;Д
+ RKKtJ^;v (1.11)
В том случае, когда ?v = 0, на основании (1.7) говорят, что вектор-и
11
ные поля и и V коммутируют. Для таких полей, двигаясь вдоль интегральной кривой TciIs) на расстояние s, а затем вдоль -у (f) — на расстояние t, придем в ту же самую точку, как и при обратном порядке движения (рис. 1.5). Поэтому можно построить систему координат, в которой обе конгруэнции интегральных линий будут одновременно играть роль координатных линий. Для некоммутирующих друг с другом полей построение таких координат невозможно.
Пусть теперь и — временноподобное векторное поле. Выберем систему координат так, чтобы и = Э0 (это всегда возможно). В этом случае интегральные кривые lu(t) поля и совпадут с линиями координаты х° (координатного времени). Тогда, в соответствии с определением (1.6), получим для производной Ли По и от произвольного тензорного поля ? T =
и
= CfTZdx0. Поэтому, если трактовать интегральные кривые временноподобного векторного поля как линии времени, производная Ли по этому векторному полю оказывается естественным аналогом производной по времени, имеющей общековариантный смысл.
1.3. ФОРМЫ KAPTAHA [111,142,152,48]
Дифференциальные 1-формы (или ковекторы) определяются как линейные функционалм на векторных полях. Если со — 1-форма, a v — вектор, то отображение вектора v в действительное число является линейной функцией (носящей название свертки) и обозначается как со (v) = = V (со) =( со, v). Здесь линейность означает, что
< со, (їй + ]3и> = а< со, и) + /3 ( со, v).
Если {еа } — векторный базис в TpTTl f то совокупность 1-форм
{ва } , определяемых свойством
ва[ер) = <ва, ер> = Sg. (1.12)
образует двойственный базис в линейном пространстве 1-форм (ковек-торный базис). Отсюда следует, что в каждой точке р наряду с касательным пространством TpItt определено также кокасательное (двойственное касательному) пространство T*73fl 1-форм. Для натурального (координатного) базиса {Э . ) двойственным является базис {с/х^ }'-< dxbv) =
12
Пусть v = vaba и со = CJftdxa. Используя (1.12), найдем выражение для свертки через компоненты:
(со, v) =со#*. (1.13)
Замечание 1. Любая функция f определяет 1-форму df (дифференциал функции) по правилу: (df, и) = uf, где и — вектор, понимаемый как линейный дифференциальный оператор. Отсюда в натуральном базисе следует стандартное определение дифференциала в виде df = (bf/bx0) dxa.
Замечание 2. Отображение <р: TTl -* Tl индуцирует отображение
Т*{Ш ) «- Tj(дГ) по правилу
( <р*СО, V ) = ( CO, .
Квадрат 4-интервала на (псевдо) римановом многообразии определяется с помощью базисных 1-форм как ds2 = g^ixOv, причем метрика записывается в виде g = Qv, т- е- как симметричный билиней-
ный оператор, отображающий пары векторов в действительные числа:
9 (и, v) = ig^efl9 Ov) (и, v) = g
Стандартная связь между векторами (контравариантными векторами) и ковекторами (ковариантными векторами) устанавливается с помощью соотношения
g(X, Y) = ,
Антисимметризованное тензорное произведение 1-форм приводит к новому понятию внешнего произведения; для базисных 1-форм
в*Л 00 : = (1/2) (в°9 00 - 00® 0а). (1.14)
Эти шесть линейно независимых величин образуют базис пространства
2-форм (разложение произвольной 2-формы: F =FapSalЛв^) .Дальнейшее домножение на 1-формы с антисимметризацией дает определение р-форм (форм степени р). Базис в пространстве р-форм состоит из р-форм вида 0а*А 0а*Л ... A OaP. Из этого определения следуют свойства симметрии операции внешнего умножения: если deg <* = р и deg со = q (deg — степень) , то
адсо = (-DpqrCoA а. (1.15)
Внешнее дифференцирование обозначают буквой d; оно переводит р-форму а в (р+1)-форму da. Его свойства:
