Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
1) линейность: d(a + Р) •= da + dQ^ d (Xo) = 4Kda при X = const;
2) d(a Л P) = daAP + (-1)раЛ</0; deg a = р;
3) dd = 0;
4) как мы уже видели, для скалярной функции f (0-формы) df представляет собой обычный дифференциал. В координатном базисе
da = ay^ v ^dxfi Л dxVl A . . . A dxvP. (1.16)
Р' 13
Мы будем часто обозначать всю совокупность индексов компонент форм и их базисов с помощью коллективных индексов, так что, например, выражение (1.16) может быть записано как
da = ?, Hdxtsa, (1.17)
причем тот факт, что собирательный индекс состоит из данного числа (здесь р) индивидуальных индексов, выражается равенством Ф а - р\ тогда, например, Ф (да ) = р + 1.
Пример 1 {ротор). Пусть CL = А (х, у, z)dx + В (х, у, z)dy + Сіх, y,z)dzt тогда
da = (Ъс/Ъу — be/bz)dy л dz + (дл/bz — bc/bx)dz A dx +
+ (дв/дх — ЪА/Ъу) dx A dy. (1.18)
Пример 2 (<дивергенция). Пусть CO =P (x, у, z) dyAdz + Q (x, y, z)dz A dx + + R (x, y, z)dx A dy. Тогда
dco = (Ър/Ъх + дй/Ьу + dR/dz)dxA dy A dz.
Если сюда подставить Pf Q, R из (1.18), то в соответствии со свойством 3 получим ddCL = 0. Так на языке дифференциальных форм выражается хорошо известное соотношение divrotfl = 0.
Операция дуального сопряжения (звездочка Ходжа) [39] переводит р-форму в (4 — р) -форму (аналогичная операция существует в общем случае /?-мерных многообразий и, в частности, в 3-мерном физическом пространстве с учетом систем отсчета). Такое изменение степени формы осуществляется с помощью аксиального тензора Леви-Чивиты, который наряду с метрическим тензором является единственным тождественно* ковариантно постоянным тензором. Рассмотрим 4-мерный случай, когда аксиальный тензор Леви-Чивиты строится с помощью полностью антисимметричного четырехиндексного символа Леви-Чивиты =
= e[aQy$]'* ео 123 = +1 (его всегда будем обозначать с нижними индексами):
Еф6 = ^єф8' *** = -<1/^еа07«- <1-19»
Аксиальные тензоры Леви-Чивиты при перемножении дают {ф I = L)
EieEV> = ?з,Ґ1 = і-"АиЄаҐ =
(здесь коллективные индексы строятся лишь из совокупностей полностью антисимметризованных индивидуальных индексов), причем обобщенные символы Кронекера определяются как
Sb = А\бЬ ... * а = Ф Ь = А
а IaI я2 аА\
и обладают свойством PaSbg = AlPb 14
А
Если исходить из базиса 4-форм cbf : = П л dx ' , то дуально сопрн-
/ = 1
женный ему базис определится как
* dxa = (MLl)EafCixi, L = A-A, (1.20)
и обратно:
dxl =-(UA\) Eat * dxa . (1:21)
Поэтому форму, дуально сопряженную относительно /4-формы, a=aadxa естественно определить как
* a = Cta .dx8 = (ML\)aaEaldx'. (1.22)
Повторное применение дуального сопряжения возвращает к исходной форме:
л , • ч-М4- *) \
** а = (—1 )Л + 1а. (-'> і . (1.23)
Введем теперь Z-форму со: со = сozdxz, =# z = Z. Воспользовавшись простым тождеством
bg = IA + Н)! &ь ьд ФИ = Фд = Н, Z = А + H, ah А,т [в Л]
легко убедиться, что
* (а Л *ш) = (-1)w + l ———————й9to. dxh. (1.24)
«! Лэ
Таким способом можно свертывать формы друг с другом. Запишем, кроме того, некоторые полезные соотношения: элемент 4-объема выражается как (dx) =dx°123, причем дуальное сопряжение 0~формы дает
* 1 = y/^g(dx), ** 1 = -1, (1.25)
так что
* (dx) = -1 IyJ-д\ (1.26)
Если даны две 4-формы а и 0, то
а Л * P = Alaa Pa \/ —д (dx) = P Л * а.
Это равенство подсказывает определение интегральной операции типа скалярного произведения с включением гильбертова пространства
(а, Р) = (pt а) = J а Л *р.
M
Если же deg/3 - dega — 1, то скалярное произведение можно проинтегрировать по частям на основании тождества
а А * dP = d(P Л * а) — A \Pbavb. р\/ -д (dx) t
15
так что
(а, с/Р) = (8а, Р) + J (/ЇА*а).
Ъм
если ввести полезное определение
Здесь # b = В = А — 1, причем i> — обычный 4-мерный индекс, так что
# (i>b) =A. Нетрудно видеть, что [39]
Комбинация операций d (типа градиента и ротора) и 8 (типа дивергенции) приводит к дифференциальному оператору второго порядка, действующему на формы без изменения их степени и аналогичному оператору Лапласа или Даламбера; этот оператор называют оператором Де Рама (дерамианом) и обозначают
Форма, которую дерамиан обращает в нуль, называют гармонической, и для нее Ay = 0.
Если форма представляет собой внешний дифференциал другой формы (на единицу меньшей степени), т. е. если со = da, то эту форму со называют точной. Аналогично, если со =80, то форму со называют коточ-ной (тогда степень 0 на единицу больше степени со). Если с/со = 0, то форму со называют замкнутой; если бсо =0, то форму со называют козамкну-той. Так как справедливы тождества
то всякая точная форма замкнута, а коточная — козамкнута (но, вообще говоря, обратное неверно!).
T е о р е м а (Ходж [39J) % Если 7ҐІ — компактное многообразие без границы, то в нем любую форму со можно представить как сумму точной, коточной и гармонической форм:
со = da + 80 + у,
причем, конечно,
degco = dega + 1 * deg0 — 1 = deg-y.
Это представление однозначно, и основным носителем информации о свойствах исходной формы со является гармоническая форма у.