Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Вычислим след $]){А(Е) — А(1)(Е)). Раскрывая неопределенность в ядре (А —А(1))(Р, Р, Е), запишем след
зр (А {Е) - А(1) (Е)) = | йР (А - А(1)) (Рх Р, Е)
в виде суммы л^рА(+) + я?вр А(_), где значки ± соответствуют значкам оператора Тар} — (2ар, который входит в разность А —А(1). Справедливо следующее представление:
А<±)-^вр([^>Т<$>1:^Зв8р-
-№ + 81-1)[ф&Т&1). (7.110)
Символ дифференцирования определяется согласно
д(оф = —да2 + др2 + дрзг д$ = да1 + да2 — д^.
Здесь значок а (р) показывает, что дифференцирование относится только к ядру ?а (?р), а второй значок 1,2,3 указывает номер аргумента ядра йк, к\ ъ), по которому ведется дифференцирование относительно к , к '2 или Е. Наметим план вычисления следа 8р(А — А(1)). Слагаемые зрА(+) и 8рА(_) удобно исследовать по отдельности. В каждом выражении ер А(±) необходимо последовательно рассматривать следы однородных Г-полиномов в порядке убывания их степени. В таких слагаемых легко выделить члены, которые содержат полные производные
д или д Ясно, что данные члены выражаются через
^-матрицы — они-то и дают вклад в ответ (7.97). В остатке образуются не «^-матричные» слагаемые двух типов. В одних слагаемых можно применить тоячдество Гильберта и понизить степень Г-полиномов. Они сокращаются с аналогичными слагаемыми, которые имеются
§ 4. ГРУППОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
385
среди членов низших степеней. В слагаемых второго типа тождество Гильберта применить нельзя — в них участвуют производные Г-матриц по переменным интегрирования. Такие слагаемые сокращаются между собой и с аналогичными слагаемыми, которые входят в определение величины АД/?). В результате остаются только члены, которые описываются в терминах парных б'-мат-риц. Их можно записать в компактном виде (7.97). При этом, чтобы убедиться в справедливости (7.97), удобно действовать в обратном порядке. Именно, сначала расписать правую часть (7.97) и упростить получившееся выражение с помощью условия унитарности для парных ^-матриц. Затем следует сравнить это выражение с результатом преобразований по описанной выше схеме.
Посмотрим, как реализуется этот план, на примере первого слагаемого (7.110). Мы рассмотрим только след зрА(+). След 8рА(_) может быть вычислен совершенно аналогично.
Преобразуем сперва след слагаемого, которое порождается символом доа'
Перецишем это слагаемое в виде
р* = - 2 зр [т^«2т:]г (ва ± + § Эр). (7.1И)
Здесь мы использовали определение символа даг и продифференцировали почленно произведение ваЭр. В обоих слагаемых (7.111) можно понизить степень Г-полиномов.
В первом слагаемом, отвечающем оператору За^8рг
применим тождество Гильберта для оператора Та. Получим
[ТрЗа2Т*]гЗа = [Тр<9а2Та8а]г = [Т р5а1Та]г.
Аналогично, во втором слагаемом понижаем степень Г-полипома следующим образом:
Эр [т;#а2т *]г = [эрт 1да2т *]г = [ %да2т *]г.
В результате для Р2 получаем представление в виде следа
25 с. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев
386 ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
8А3 = 2т 2 йр |~Т а^ (3Р2 + 5Рз) Тр] .
Первая группа слагаемых уже не сводится к слагаемым третьей степени. Здесь мы будем действовать иначе: выделим следы однородных Г-полиномов четвертой степени, которые выражаются в терминах матрицы рассеяния^ а остаток сведем к Г-полиному третьей степени. Для этого можно воспользоваться соотношением
Эр (5р2 + 5рз) Тр = 2я*5ТРТЛ + (вЭ1 + Зрз) Тэ. (7.113)
Покажем, что оно справедливо. Мы будем проверять эквивалентную формулу
ТрФо (д$2 + з|) Тэ = 2т [дн + + 9р3 + \ Щ2) X
хТрФот^(^1 + А)т^(^2 + ^) т;,
где 5р2Т*= (Зр2Тр)* и Ьр 2 — оператор умножения на функцию Щ>.
Представим сначала оператор Трф0 Тр в виде суммы
(7,114)
однородного Г-полинома третьей степени:
Рл = - 2ш2 8Р [^Т* § Тэ + да1Та § Т5]г.
(7.112)
Рассмотрим оставшиеся слагаемые первого члена (7.110):
Степень Г-полинома во второй группе, которая отвечает операторам $а^8р, можно снова понизить. Обозначим эту группу через 6Л3. Имеем
§ 4. ГРУППОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 387
Первое слагаемое в правой части упростим с помощью тождества Гильберта:
2тА(ТрФоТ*р) = ^(Тр-Т*).
Рассмотрим далее ядро оператора Tp^|,<p0T?, которое имеет следующий вид:
? (/>? - Z>?) J dkl *p(ap, kl E-pl + iO)x
Xt? (4 4 E - p\ + Ю) fE6(# + pg - Я).
Перейдем под интегралом к дифференцированию б-функ-
7»2 »2
ции по /C? и проинтегрируем относительно #? по частям. Получим, что
Tf»WT? = (Vp)<p0T* + ТрФо5р2Т; + 4-Tphp290T?.
Подставим это равенство в (7.114) и добавим и вычтем в правой части оператор
3?lT?cp0T; = (2л*)"1 (W - 0?lTp).
Производя очевидные сокращения, придем к (7.113).
Итак, действуя по намеченной схеме, мы закончили преобразование следа однородных Г-полиномов четвертой степени. Мы представили их в- виде суммы членов двух типов. Первый — это след
~(2Я*)22 SP[Ta?]r^of?,: a^?
который выражается в терминах S-матриц. Все остальные относятся по второму типу — они представляют собой следы Г-полиномов третьей степени, и для их описания нуяшо задавать Г-матрицы вне энергетической поверхности.
Совершенно аналогично можно преобразовать и все остальные слагаемые (7.110). Как мы уже отмечали, все члены, которые содержат Г-матрицы вне энергетической поверхности и происходят от различных слагаемых (7.110), взаимно уничтожаются. Оставшиеся слагаемые, которые выражаются в терминах парных .^-матриц, можно записать в компактной форме (7.97). 25*
