Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
- (2*е)2 2 ер Ко*т: г(дг+4) тдо:] (тр* - тр).
В слагаемых второй группы можно применить тождество Гильберта для оператора Та и представить его в виде
- (2*е)2 2 8Р ТрЫ? (Т* - Т«) КоИо* (л, + Ц Тр.
Запишем далее производные операторов так, чтобы снова образовались выражения типа ^(}:
- у0(так0к:тр) - ТаИХ (я2 + ±) тр,:
§ 4. ГРУППОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
381
= У0 (ТаК0110*Тр) - ((^1 + ^) ТаК0г1о*) Тр.
При этом в слагаемых, которые порождаются вторыми членами в правой части этих равенств, можно еще раз применить тождество Гильберта соответственно для операторов Т« и Тр. В результате эти слагаемые редуцируются уже к следам Г-полиномов второй степени.
Совершенно аналогичную процедуру следует применить для преобразования следа Д(3). ^
Можно убедиться, далее, что сумма Д(4) + Д(3) совпадает с суммой оставшихся слагаемых (7.102) Д(3), Д(2) и Д(2)' с точностью до перестановки операторов Яо и Ы0Во« Исключение составляют вырая^ения &\70(ТаК0К*Т|з)— они одинаковы в обоих случаях. Ясно поэтому, что если применить элементарное тожде-ство 2гег10г10 = г10^г10, то все слагаемые, которые содержат смешанные комбинации Ио иК0, взаимно уничтожаются. Это именно те слагаемые, которые пороя^да-ют расходимости (7.104) в пределе г \ 0. Останутся только слагаемые, в которых имеется по два разделенных Г-матрицами оператора И0 или И0 • В пределе е I 0 эти слагаемые мояшо объединить в искомое представление (7.105).
Займемся дальнейшим преобразованием этого представления. Заметим, что ядра операторов, которые стоят под знаком следа, в подходящих переменных имеют вид
разности (^Г^-^^' га = 2' 3- Поэтому с по"
мощью равенств
(х _ Ю)~п -(х+ Ю)~п = (- I)71-12т б (х)
аргументы этих ядер можно локализовать в окрестности энергетической поверхности. В этом плане мы преобразуем правую часть (7.105) на втором этапе.
Прежде чем описать результат такого преобразования, введем несколько новых обозначений. Рассмотрим ядро
г-т; 5а (Р, Р'9 Е) оператора Эа (Е). Справедливо следую-
382 ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
щее представление:
= в (Ра — Pa) -f VE^a (*a, й4> Е —pi + Ю)»
где аргументы ядра ?a лежат на энергетической поверхности ка = ка = Е — ра. Через УЕ обозначен символ дифференцирования, который действует согласно правилу
VEta (ка, к'а, Е - р% + Ю) = (jg + |- ^ + a /
При этом на энергетической поверхности Р2 = Р'2 = 5 ядра VE?a и V0fa связаны соотношением
VE*a(&aX, #~Pa + *0)^=
= (~ А + V°) *a Д Р^ kl = ka=E- pi
Символ VE удобен тем, что с его помощью можно естественно продолжить оператор ^^а(^) с энергетической поверхности. Именно, этому оператору мы будем сопоставлять оператор VETa+), действующий в гильбертовом пространстве (L2(R6) лак интегральный оператор с ядром
VE7t+) (Р, Р',Е)=8 (Ра - Pa) VEt* (ка, *?, Е - Ра + Ю).
При этом с помощью символов Т^, VeT^ И фо можно описывать любые комбинации операторов Sa{E) и
•^Sa(E). Например, ядро произведения Tp^Sa можно записать в виде
f^Sa(P, Р\ Е) = - inE^T^WETa+\P, р\ Е),
где аргументы в правой части должны быть взяты на энергетической поверхности Р2 = Р'г = Е. Далее мы обозначаем Ta+) = Tai Та~) = Тд. Это не вызывает недо-
§ 4^ ГРУППОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
383
разумений, так как операторы Та(Е ± ге) при е Ф 0 ниже не фигурируют.
В этих обозначениях справедлива следующая формула:
Л1 = бД(а) + вД(2), (7.107)
где 6Д(3) — след однородного Г-полинома третьей степени
6А(3) =
= (2я0 2 Ч> (т^вТ. ^° Ъ + Ф0Тр ^ЗДгТр) (7.108)
и 6Д(2) — след однородного Г-полинома второй степени 6Д(2) = 2я^2 8рТ;^°У?Та. (7.109)
Подчеркнем, что величина А^Е) не выражается в терминах парных ^-матриц, хотя аргументы ядер Г-мат-риц и их производных и локализованы в окрестности энергетической поверхности. Дело в том, что под знаком следа стоят производные б-функции 8{р2 — Е). Это приводит к появлению производных парных Г-матриц по
третьему аргументу ^*(&» к', Е + Ю), что требует задания Г-матрицы и вне энергетической поверхности.
Чтобы получить представление (7.107), нужно действовать таким же образом, как и при выводе формулы (7.105). Отличие состоит лишь в том, что здесь параметр е уже взят равным нулю. Однако все операторы имеют след, так что мы можем расставлять сомножители под знаком следа подходящим способом и пользоваться тождеством Гильберта. При этом каждый член (7.95) следует сначала разбить на сумму слагаемых, в которых имеется производная только одного из ядер ?а или 2?0 (/?*). Затем из производных ядер ?а следует образовать выражения уЕТа. Степень же возникающих при этом в остатке Г-полиномов понижается с помощью тождества Гильберта. В результате формируются величины 6Д(3) и 6Д(2), а в остатке получается след однородных Г-полиномов второй степени. Сумма слагаемых этого остатка, однако, равна нулю. Мы не будем приводить здесь кропотливые, хотя по существу и простые вычисления в доказательство формулы (7.107). Все приемы, необходимые для этого, мы уже описали выше.
384
ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Итак, мы описали все слагаемые в промежуточной формуле (7.99). Теперь, чтобы перейти к заключительному представлению (7.94), необходимо вычислить оператор А(Е), определяемый согласно (7.101). .Конечно, это равенство не дает возможности определить А(Е) однозначно. Выражение, которое фигурирует в (7.47), выбрано таким образом, чтобы форма оператора А (Е) была бы возможно более близка форме оператора АСЕ).
