Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
?
WV/Г ///Ai///////У///А ///Л\Л Л''// /у' У/Л /////////. %
0 1 23456789 10 &
Рис. 7.8
(7.101)
§ 7.6. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ХИЛЛА И МАТЬЕ
251
Если при данных значениях параметров б и е имеет место неустойчивость, то
говорят, что наступает параметрический резонанс. Из приведенных
рассуждений видно, что параметрический резонанс имеет место при
бесчисленном множестве значений частоты возбуждения со. При малых е
параметрический резонанс наступает вблизи значений б = п2/4, где п -
целое число (см. описание рис. 7.8).
Между обычным и параметрическим резонансами имеются существенные
различия. Действительно, если на систему с линейным упругим элементом
действует возмущающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону,, то
дифференциальное уравнение движения приводится к виду
х + к2х - Н cos соt.
При совпадении частоты возмущающей силы со с частотой собственных
колебаний к частное решение, соответствующее вынужденным колебаниям,
будет
Н . . .
Х = -х-rsincor.
2ш
Из этого решения и его графика (рис. 5.1) видно, что обычный резонанс
представляет неограниченное возрастание вынужденных колебаний устойчивой
системы (см. пример 3 § 5.4), возникающих под действием возмущающей силы.
Резонанс появляется только при одной частоте возмущающей силы со = к и
любых, в том числе и нулевых, начальных условиях *). Амплитуды
вынужденных колебаний возрастают практически по закону арифметической
прогрессии, разность которой приближенно определяется равенством d =
Нл/(2со2) (если не считать нескольких первых колебаний, то это равенство
дает очень хорошее приближение).
Параметрический резонанс - это возрастающие колебания около неустойчивого
положения равновесия. Он возникает не при одном, а при бесчисленном
множестве значений частоты возбуждения в результате появления неизбежных
начальных возмущений (при нулевых началь-
1) При со ф к частное решение имеет вид
и, следовательно, амплитуды вынужденных колебаний не возрастают.
252 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ систем
ных условиях система находится в состоянии неустойчивого равновесия).
Характер движения системы при параметрическом резонансе практически
определяется соотношением (7.82) (см. также рис. 7.6)
х (t) Ceatcp (t),
где а > 0, а <р (() - периодическая функция, период которой равен периоду
возбуждающей функции Т. Амплитуды колебаний при параметрическом
резонансе, как это следует из последней формулы, возрастают по закону
геометрической прогрессии, знаменатель которой (фактор возрастания)
определяется равенством
j = gaT/2
Остановимся теперь на вычислении зависимости б = б (е) при условии, что |
е | 1.
Ограничимся в бесконечном определителе (7.96) Хилла сначала двумя
строками и двумя столбцами
Да (е) =
>-1
= 0
или
Да (е) = б (б - 1) тр = 0.
Положим 8 = 0. Тогда
А (0) = 6 (б - 1).
Это нулевое приближение имеет два корня б'0) = 0, б(20) = 1.
Для определения первого приближения положим б^ = б<0) + ^е2, б" = б(20) +
а2е2 или, учитывая значения 6i0) и б20),
б?} = аге\ 6(21} = 1 + а2е2.
Составим теперь из (7.96) определитель А3:
Дз(е) =
8
6-1
0 -g- S-4
= 0.
§ 7.6. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ХИЛЛА И МАТЬЕ
253
Раскрывая определитель, находим
Да(е) = б(8 -1)(6-4) - -?-(38 -8) = 0.
Внесем сюда сна'чала 8^ = аге2:
aiе2 (aie2 - 1) (аце2 - 4) -(Захе2 - 8) = 0
или, ограничиваясь членами не выше второго порядка малости,
Аа^2 + 2е2 = 0.
Отсюда находим
Аналогично найдем а2 и б^:
"2 = -^-, б?) = 1+~е2.
Можно показать, что если придерживаться принятой точности, то вычисления
с помощью определителей более высокого порядка не внесут улучшения в
найденные значения "х и а2. Это следует из очевидного равенства,
получающегося из определителя (7.96) для конечного п при раскрытии его по
элементам последнего столбца или строки:
Д" = [б - (п - I)2] Дп.х - ~ Ап-2.
Поэтому будем считать, что при малых е два решения уравнения (7.96)
определяются равенствами:
б = -4* а = 1 + -А-82. (7.102)
Аналогично получим решения уравнений (7.97) - (7.99):
б-i-4-е2> б=х--г' + (7Л03)
причем улучшить эти результаты за счет повышения-порядка определителей
нельзя, если только вычисления вести до первого члена, содержащего е. На
рис. 7.9 показаны области устойчивости для малых е.
Если в систему ввести демпфирование, то уравнение (7.89) примет вид
44 + 2h 4г + + 8 cos т)ж = °' (7.104)
где h > 0.
25i гл. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
С помощью подстановки
х _ b-hxz (7.105)
приведем уравнение (7.104) к виду
~Уг + (б- h? -j- 8 cos т) z =- 0. (7.106)
Это уравнение совпадает с уравнением Матье (7.89), если положить
6j = 6 - h\
Предположим, что при заданных 6, h, е уравнение (7.106) определяет
устойчивое движение относительно z.
Тогда, согласно равенству (7.105), движение будет асимптотически
устойчиво относительно переменной х.
§ 7.7. Примеры исследования устойчивости систем
с параметрическим возбуждением
Параметрические возбуждения встречаются во многих системах. Так,
например, они возникают в системах, на которые действуют периодически
