Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
нормальных решений хг (t), . . ., хп (t), удовлетворяющих условиям
(7.65). Общее решение уравнения (7.45) запишем в форме (7.52)
П
x(t)= ^Ckxk(t). (7.69)
Ic=l
х) Напомним определение логарифма комплексного числа (корни уравнения
(7.64) могут быть комплексными числами):
In р = In | р | + i arg р,
где [ р | есть модуль р и arg р обозначает аргумент р.
§ 7.5. СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 237
Вектор х (t) определяет изображающую точку М, а слагаемые С^хк (t)
являются составляющими его. Через период Т положение изображающей точки М
будет определяться равенством
П
х (t -f- Т) = CjA- (t + T).
R=1
Составляющие этого вектора, согласно (7.65), равны
Скхк + Т) = РкСкХк (t). (7.70)
Отсюда
| {t + З'') 1 = 1 Р"с | | Скжк (t) |.
Это равенство показывает, что если все |рк|<1, то через период Т модули
всех составляющих вектора х (? + Т) уменьшатся и, следовательно,
изображающая точка М приблизится к началу координат; если модуль хотя бы
одного корня р* больше единицы, то через период Т соответствующая
составляющая С^х^ (t + Т) вектора х (t + Т) увеличится по модулю и
изображающая точка М начнет отдаляться от начала координат; наконец, если
среди корней характеристического уравнения имеются такие, модули которых
равны единице, то модули соответствующих составляющих вектора х (t + Т)
останутся без изменения.
Из этого вытекают следующие условия устойчивости системы, возмущенное
движение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями с
периодическими коэффициентами.
Если модули всех корней характеристического уравнения (7.64) меньше
единицы, то невозмущенное движение ху = . . . = хп = 0 асимптотически
устойчиво.
Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один,
модуль которого больше единицы, то невозмущенное движение неустойчиво.
Если среди корней характеристического уравнения имеются такие, модули
которых равны единице, а модули остальных корней меньше единицы, то
невозмущенное движение устойчиво, хотя и не асимптотически.
Заметим, что первые два вывода справедливы и при кратных корнях
характеристического уравнения, а последний только при простых корнях
(точнее, при корнях простых относи .ъно элементарных делителей).
238
ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Раскроем определитель (7.64) и приведем его к виду
р" + ахр"-1 + а2рп~2 -f ... + ап_хр + ап = 0. (7.71)
Коэффициент ап определяется, очевидно, равенством
ап = (-1)" det А.
Пользуясь равенствами (7.61), (7.56) и (7.58), найдем
т
i (Pu+---+Pnn)°'<
a" = (-l)V (7.72)
Таким образом, свободный член характеристического уравнения (7.71) может
быть найден по коэффициентам исходных уравнений (7.45). К сожалению, для
определения остальных коэффициентов уравнения (7.71) необходимо знать
хотя бы одну фундаментальную матрицу X (t) (легко доказывается, что
уравнение (7.71) не зависит от выбора фундаментальной матрицы). Задача
облегчается тем, что критерии устойчивости носят характер неравенств,
поэтому можно пользоваться численными и приближенными методами.
Один из этих методов состоит в следующем. Задав начальные условия (7.55),
численным интегрированием уравнения (7.45) определяют значения линейно
независимых решений (7.49) в конце периода Т, т. е. матрицу X (Т) = А.
Так как интегрирование нужно производить на конечном промежутке времени
[0, Г], то все вычисления можно произвести с любой наперед заданной
точностью (для этой цели лучше всего, конечно, использовать электронно-
вычислительные машины). По найденной матрице А составляется
характеристическое уравнение (7.64), после чего определяются корни р1?
р2, . . ., р". Хорошим контролем этого метода может служить равенство
(7.72), которое с помощью последней формулы Виета (4.23) приводится к
виду
т
I <Pu+...+Pnn)dt
Pi • • • Pn = е°
Отметим, что в этом методе заключение об устойчивости движения на
бесконечном промежутке времени делается на основании результатов
интегрирования на конечном интервале времени [0, Т].
§ 7.6. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ХИЛЛА И МАТЬЕ
239
Со вторым приближенным методом (их существует значительно больше) мы
познакомимся в следующем параграфе, а сейчас остановимся на случае, когда
среди корней характеристического уравнения имеются корни, равные +1 или -
1.
Предположим, что р = +1. Тогда соответствующее нормальное решение будет
удовлетворять равенству (см. формулу (7.62)) х (t + Т) - х (?).
Это означает, что уравнение (7.45) имеет периодическое решение, период
которого Т совпадает с периодом коэффициентов.
Пусть теперь р = -1. Тогда соответствующее нормальное решение будет
удовлетворять равенству
х (t + Т) = -х (г).
Еще через один период будем иметь
x(t + 2Т) = -ж (f + Т) = х (?).
Из этого следует, что при наличии корня р = -1 уравнение (7.45) имеет
периодическое решение, период которого 2 Г вдвое больше периода Т
коэффициентов исходного уравнения.
А. М. Ляпунов показал [35], что всякую систему линейных дифференциальных
уравнений с периодическими коэффициентами можно привести при помощи
