Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
квадратных матриц равны
del А' - det А,
Квадратная матрица называется симметричной, если ее элементы,
расположенные сцищетричцо относительно
§ 5.2. МАТРИЦЫ И ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С НИМИ 129
главной диагонали, равны между собой, иначе говоря, матрица называется
симметричной, если ее элементы удовлетворяют равенствам
akj ~ ajk-
Так, например, матрица
5 3 -II 3 0 2
- 1 2 - 4|
симметрична.
Очевидно, что транспонированная симметричная матрица равна исходной
А' = А. (5.15)
Квадратная матрица называется кососимметричной, если ее элементы, стоящие
на главной диагонали, равны нулю, а элементы, расположенные симметрично
относительно главной диагонали, равны по модулю, но противоположны по
знаку, иначе говоря, матрица А называется кососимметричной, если ее
элементы удовлетворяют равенствам
==
Так, например, матрица
10-1 4
1 0-3
- 4 3 0
кососимметричная.
Из сделанных определений следует, что для кососимметричной матрицы
справедливо равенство
А' = -А. (5.16)
В высшей алгебре доказывается, что кососимметричный определитель
нечетного порядка тождественно равен нулю, а кососимметричный
определитель четного порядка представляет квадрат целой рациональной
функции его элементов. Таким образом, кососимметричный определитель с
вещественными элементами не отрицателен.
Легко показать, что любую квадратную матрицу можно представить как сумму
симметричной и кососимметричной матриц. Действительно, пусть
Л = || akj ||
5 Д. Р. Меркин
130 ГЛ. V. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
- произвольная квадратная матрица. Составим из нее две другие матрицы:
Л=-^-(Л + А'), В = 4"(Л-Л')- (5-17)
Очевидно, что матрица А симметрична, а матрица В кососимметрична.
Равенство
Л = А 4- В
доказывает сделанное замечание.
Квадратная матрица Л = [| a1| называется ортогональной, если ее
произведение на транспонированную матрицу Л' = || ад. || равно единичной
матрице
ЛЛ' = Е.
Из этого определения вытекают несколько следствий, которым удовлетворяют
ортогональные матрицы Л:
1) транспонированная матрица Л' равна обратной матрице Л-1:
Л' = Л-1;
2) определитель ортогональной матрицы равен 4-1:
Д = det Л = ±1; (5.18)
3) сумма квадратов элементов любой строки (столбца) равна единице:
S ah-21 а% = 1;
j к
4) сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на
соответствующие элементы другой строки (столбца) равна нулю
2 fihmj 21 == (r) т)-
3 3
Если элементы матрицы зависят от ска лярного пара метра, например от
времени t, то производной матрицы по параметру называется матрица,
элементы которой равны производным по этому параметру. Таким образом,
если х - || xkj ||, то
dx | dx-fr- I
dt I dt I
или в других обозначениях
§ 5.2. МАТРИЦЫ И ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С НИМИ
131
До сих пор рассматривались матрицы, элементами которых служили числа.
Можно представить себе матрицы, элементами которых являются не числа, а
любые объекты. Нужно только, чтобы все действия с такими матрицами были
определены и возможны. В частности, можно рассматривать сложные матрицы,
элементы которых сами являются матрицами. Например, матрицу
"п
"21
bi
"12
"22
&2
"13
"23
Ьз
Cl
du
^21
с2
dn
^22 II
можно короче записать так:
\\А С II
где
А = Г1
II "21
5 = 11 h
"12
"22
ь2
II5 D\
"13II
"23 1 '
ь3\
^11
^21
II-
^12 I!
^22 1 '
б) Матричная форма записи системы дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения (5.1) можно записать в простой и компактной
форме с помощью матриц. Действительно, введем в рассмотрение две матрицы.
1. Матрицу коэффициентов правой части уравнений (5.1)
"и "12 в1"
А = "21 "22 • • • а% п
ап1 аП2 •• апп
2. Матрицу-столбец или вектор
l*i
х =
Составим матрицу из их произведения. Согласно формуле (5.8) будем иметь
Ах-
"Ь ^12^2 ¦ • • + а1пХп
^21*^1 ^22^-2 • °2пХп
amXl + an2*" + • • ' -Ь аппхп
(5.19)
5*
132 ГЛ. V. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
т. е. произведение квадратной матрицы А на матрицу-столбец х равно
матрице столбцу, элементы которой равны правым частям уравнений (5.1).
Теперь очевидно, что эти уравнения могут быть записаны в следующей
простой матричной форме:
х = Ах. (5.19а)
В этом уравнении х = производная по времени
матрицы-столбца х.
Столь же просто можно записать в матричной форме и другие более сложные
системы дифференциальных уравнений.
В частности, уравнения второго порядка
S
X Ч- bkjij "Т Суз^)== Хк (к = 1,..., s) (5.20)
3=1
в матричной форме запишутся следующим образом:
Ах + Вх + Сх = X, (5.21)
где А = || akJ ||, В = || bkJ ||, С = || ctj || - квадратные
матрицы, а х и X - матрицы-столбцы с элементами хj
и Xj соответственно.
в) Матричная запись квадратичных форм. Рассмотрим квадратную матрицу А и
матрицу-столбец х. Их произведение определяет матрицу-столбец (5.19).
Ранее отмечалось, что матрица-столбец может рассматриваться как вектор.
Воспользуемся этим обстоятельством и будем рассматривать элементы
матрицы-столбца (5.19) и элементы матрицы-столбца х как составляющие
векторов Ах и х. Тогда их скалярное произведение будет равно сумме
