Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
0) и ни одно из них не имеет противоположного смысла. Поэтому исследуем
это уравнение обычными методами.
Каждому корню X = v -Ь pi уравнения (4.50) отвечает корень -X = - v 4- И
(неизвестное число X содержится только в четной степени). Поэтому если
вещественная часть хотя бы одного корня не равна нулю (Re X = v =?= 0),
то обязательно будет корень, вещественная часть которого положительна.
Согласно теореме Ляпунова о неустойчивости по первому приближению (см. §
4.3), невозмущенное движение в этом случае будет неустойчиво. Из этого
следует, что для устойчивости невозмущенного движения волчка необходимо,
чтобы все корни характеристического уравнения (4.50) были чисто мнимыми,
т. е. имели вид X = pi, а корни относительно X2 - вещественными
отрицательными числами. Но для этого необходимо, чтобы дискриминант D
уравнения (4.50) относительно X2 был положительным:
D = (ГУ - 2JxPl)2 - 4J'2P2P = jy (jy - 4JxPl) > 0.
Отсюда видно, что при противоположном смысле неравенства (4.47)
дискриминант D будет отрицателен и, следовательно, установившееся
движение волчка (вращательное движение снаряда) сделается неустойчивым.
120 гл. tv. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
Пример 5. Устойчивость стационарных движений оси вращающегося
неуравновешенного ротора, установление го в нелинейных подшипника!. Ранее
было показано (см. пример 4 § 3.5), что равновесное положение оси
уравновешенного ротора устойчиво. Однако уравновешенный ротор (е = 0)
следует рассматривать как случайное событие, вероятность которого
практически равна нулю. В реальпых условиях всегда имеется хотя бы
небольшой эксцентриситет е, в результате чего в нелинейных, в частности
шариковых, подшипниках возникают большие давления на
опоры, приводящие иногда к разрушению последних. Для принятия
соответствующих мер предосторожности необходимо, прежде всего, определить
стационарные движения оси ротора и их устойчивость.
Будем, как и в § 3.5, считать, что абсолютно твердый ротор массы т с
вертикальной осью вращения установлен в жестко укрепленных на неподвижном
основании упруго податливых подшипниках. Предполагается, что ротор,
эксцентриситет которого е = ОС, движется плоскопараллельно, а собственное
вращение, происходящее вокруг оси О с постоянной частотой со,
осуществляется идеальным двигателем (двигателем неограниченной мощности).
Нелинейные в общем случае реакции опор приводятся к равнодействующей Со
(Р)> удовлетворяющей условиям (3.40). Положение оси ротора относительно
неподвижной системы координат Огху будем определять полярными
координатами р и ф (рис. 4.4). В сделанных предположениях относительно
двигателя угол между отрезком ОС и осью х' с точностью до начальной фазы
равен юг (ось х' перемещается поступательно, параллельно оси х). Проекции
скорости v0 оси О ротора на полярные оси координат р0 и ф0, как известно,
определяются равенствами
vp = А' \ = рф. (4.51)
Из рис. 4.4 видпо, что проекции относительной скорости (c)? центра масс С
на те же оси будут равны
vCp = - we sin (юг - ср), = юг cos (юг - ф). (4.52)
Кинетическую энергию найдем по формуле [12]
Т =у mvo + mvo'vc + то- (4.53)
Здесь тп-масса ротора, Т'0 - его кинетическая энергия относительно
поступательно перемещающихся осей координат Ох'у'. Очевидно, что Tq =
/0ю2/2 и в сделанных предположениях Тт0 = const.
§ 4.5. ПРИМЕРЫ 121
Скалярное произведение '0о-'0тс вычислим с помощью равенств /4.51) и
(4.52):
VQ-
Vq - сое [- р sin (сot - ф) + рф cos (cot - q>)].
Пользуясь теперь равенством (4.53), найдем с точностью до постоянной
кинетическую энергию ротора
Т = -L пг (р2 + Рафа) + тпые [-р sin (cot - ф) + РФ cos (cot - ф)].
(4.54)
Учитывая силу сопротивления Fc = |imvo, пропорциональную первой степени
скорости оси О (u, = const) и пользуясь вторым методом Лагранжа, получим
дифференциальные уравнения движения оси ротора (первое уравнение
сокращено на от, второе - на тар)
р' - рф2 - со2е cos (cot - ф) = - F (р) - рр, F (р) = F0{p)/m,
(4.55)
РФ + 2рф - со2е sin (cot - ф) = - РРФ-
В установившемся движении р = г = const, ф = со = const, где постоянные г
и у = соt - ф удовлетворяют равенствам
гсо2 -f- со2е cos у - F (г), "со2 sin у = ргсо, (4.56)
определяющим г и у как функции со.
Амплитудно-частотная характеристика представляет непрерывную линию,
лежащую между двумя разомкнутыми ветвями, отвечающими случаю р = 0. Точки
Л2;3 пересечения амплитудно-частотной характеристики (4.56) со скелетной
кривой (рис. 4.5)
со = х (г), х2 = F (г)/г (4.57)
определяются равенствами
|Хг = ех (г), со = -И г, у = - . (4.58)
е 2
Так, для реакции F0 = а0р" будем иметь
г = (аЛ fl\1/(3"№) со = f!\1/(3~a)
\от р2/ ' е \m р2/
Y= 2-
Дифференцируя равенства (4.56) по со и исключая затем dy/da>, получим
{[X2 (г) - со2] [F' (г) - C03J + р2С02} *1 --= - [2F (г) е cos у + р2г2].
Ясо г
(4.59)
Если коэффициент при dr/dm
a4 = [х2 (г) - со2] I/'" (г) - со2] -\- р2со2 (4.60)
не имеет вещественных корней г = г (со), то амплитудно-частотная
