Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
L - XdQ, (5.97)
Ь
где
X = (—1/4) Fni Fik +Ai Si-Ii0C2 = (—1/4) (дAfJdxi-дAiIdxh)2+ Ai Si-ц°с2
(5.98)
(Q — некоторая область интегрирования в (3 + 1)-пространстве; Si —- плотность 4-тока и [х° — инвариантная плотность массы в системе покоя).
Сначала рассмотрим произвольную вариацию 6Л;- функций Ai (х), для которой = 0 на границе области Q, a Si и ц° остаются неизменными. Для вариации L интегрированием по частям и учитывая, что SdAiZdxh --- dSA Jdxhi получаем
6L = j 6MQ = J [Fik + 6Ai Si j dQ = J ^----+ Si j бЛг dQ. (5.99)
Условие
SL - 0 (5.100)
для любой вариации рассматриваемого вида приводит к уравнениям — dFih/dxk + Si — 0, т. е. ко второй паре уравнений Максвелла (5.16).
Теперь рассмотрим вариацию, в которой Ai постоянны, а мировые линии материи изменяются. Это значит, что в выражении (5.98) изменяются только последние два члена. Проследим за бесконечно малой частицей материи объемом dV и рассмотрим бесконечно тонкую трубку мировых линий этой частицы. Если т — собственное время, a. Xi = Xi (т) — координаты частицы, то
Ui = dxjdx; Si = р° U Jc = (р°/с) dxjdx.
В качестве ?2 в (5.97) выберем часть этой трубки, для которой T1 < т < T2, и определим вариацию мировой линии, удовлетворяющей условию Sxi = 0 при T = T1, T = T2. Поскольку
dQ — (1/i) dVdxi = cdV°dv, dx = (Ijc) (—dxt d.Xi)1/2, где dV0 — объем частицы в системе покоя,
J (Л; Si-H0CVQ= J [Ai р° dV0 ------------\i°dV° C2^dx =
2 2
= de ^ Ai dxf—dm0с2^(—dxt dxt)1/2. (5.101)
і i
Здесь dm0 = n°dV° и de — p°dV° — масса покоя и заряд частицы соответственно — величины, не изменяющиеся вдоль трубки.
Для вариаций интегралов в (5.101), вызванных вариацией Sxi (т) рассматриваемого вида, интегрированием по частям и учитывая, что d6xt = Sdxi, получаем
2 2 2
б ^ Ai dxt = ^ (бЛг- dXi+Ai Mxi) = ^[(dAjdxk) Ьхк dxt -)- Ai d6;c;] =
і і і
= f (MtL- -----------Sxi dx = Г ( М*-------------Uk Sxi dx =
J \ dxt dx dx J Jv dXi dxk J
I1 Ti
Xt
= J Fih Uh Sxi dx; (5.102)
Ti
120
2 2
Г dxt
б Г (-Clxi dx,)»*= Г— -~2dXi8df ¦- = -(1/c) I J J 2 (~dxidxi)l/2 J
f/бх;
¦bxidx. (5.103)
Тогда из (5.98), (5.101), (5.102) и (5.103) для вариации L имеем 6L = с j ^ Fik Uk — р° CiUiIdr^ Sxi dV0 dx =
= cj(/j — [i0 dUi/dx) bxtdV0dx. (5.104)
Таким образом, условие &L = 0 приводит к уравнению
I^dUiIdx = Ii = FikSh, т. е. к уравнению движения (5.96) заряженной некогерентной материи.
§ 5.9. Электромагнитный тензор энергии
Теперь покажем, что с помощью уравнений Максвелла плотность 4-силы (5.93) можно представить в форме дивергенции симметрического тензора. Подставляя (5.16) в (5.93), получаем
j- с ______|7 ^Fik ___ & (Fu Fik) dFn ^
Ii — г ilbi~ г il~^ д —; rIk-
UXfi и%к uXk
Используя (5.13) и учитывая антисимметричность Fih, имеем Wii П _ dFhi V I / dFu . dFkt
I opU
I dxk
P ________ Rl С 1 / Il I Hl \ С
Г Ih---------------г----------г Ik — — —-----------------------------------------1------------------- I F Ik =
dx/t dxі 2 \ dxk dxi
= —L Лік. p = —i—a_ F ^
2 dxi 1 4 dxi ' ш
Таким образом,
U = -SSikIdxk, (5.105)
где Sik = FilFhl-Sih(FlmFlm)IA. (5.106)
Согласно правилам тензорного исчисления, Sitl — симметрический тензор
Sih = Skit (5.107)
удовл етвор яющ и й тождеств у
Sa = FllFil-(FlmFlm) = O. (5.108)
Учитывая в (5.106) формулы (5.11), найдем выражения компонент этого тензора через компоненты векторов электрического и магнитного поля:
Sjiv= ^iiVi (5.109)
где
= Evl Ev + Hvl Hv- 1/2 (E2 + H2) Stiv, (5.110)
— тензор напряжений Максвелла.
Далее,
Stli=--Sttl = (Uc)Stxt (5.111)
где вектор S с компонентами Sii представляет собой вектор Пойнтинга:
S^c(ExH), (5.112)
121
и, наконец,
S44 = -IF, (5.113)
где
W = (E2 + Н2)/2 (5.114)
- плотность энергии электромагнитного ПОЛЯ.
Тогда уравнение (5.105), где і = 4, можно записать в виде
U = (Uc) (f • u) = — (He) div S + (1/ic) dWfdt; (f • u) + div S + dWldt = 0, (5.115)
который выражает закон сохранения энергии, если W и S интерпретировать как плотность энергии поля и плотность тока соответственно. Интегрируя уравнение (5.115) по конечному объему V в пространстве, ограниченном фиксированной поверхностью, и применяя теорему Гаусса, получаем
f WdV = J Sndf + §Q-u)dV, (5.116)
V } V
где Sn — компонента вектора S вдоль внешней нормали элемента поверхности df. Таким образом, уменьшение энергии поля внутри V за единицу времени равно выходящему потоку энергии поля через поверхность / плюс полная работа электромагнитных сил внутри V-Для і — 1, 2, 3, имеем
!H = CitiivIdxv-O(SJc1)Idt. (5.117)
В статическом случае последний член равен нулю п (5.117) в точности совпадает с максвелловским выражением для плотности силы в веществе се =
= M-=I-
Рассмотренный вывод принадлежит Минковскому [160, 1621. Как указывал Абрагам [1, 5], вектор
g = Sfe2 (5.118)
следует интерпретировать как плотность электромагнитного импульса, если потребовать сохранение импульса для замкнутой системы. В самом деле, интегрируя (5.117) по внутренности замкнутой поверхности /, в которой содержится вся система, получаем
