Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, понятие одновременности двух событий в различных точках пространства имеет точный смысл только в данной инерциальной системе отсчета. И только приближенно, когда скорость света можно считать бесконечно большой по сравнению со всеми остальными скоростями, можно говорить об абсолютной одновременности событий, независимо от движения наблюдателя. Такая аппроксимация совершенно удовлетворительна как для повседневной жизни, так и для многих физических процессов. Этим объясняется глубоко укоренившееся убеждение в существовании абсолютного времени и абсолютной одновременности,
§ 2.3. Специальные преобразования Лоренца
Событие в точке P инерциальной системы I можно охарактеризовать четырьмя величинами: тремя пространственными координатами точки P и временем і. Эти четыре величины называются пространственно-временными координатами события. Если в системе I пользоваться декартовыми координатами, то пространственно-временные координаты события суть (к, у, 2, t), причем х = (х, у, z) — декартовы координаты точки Р. Координаты (х, у, г) определяются путем измерения длин проекций вектора х на декартовы оси с помощью стандартной измерительной линейки, покоящейся в системе 1, а время t отсчитывается по стандартным часам, покоящимся в точке Р.
Именно таким способом с данной инерциальной системой мы связываем определенную пространственно-временную систему координат S. Когда дана система S, то система отсчета, т. е. инерциальная система /, полностью определена.
С другой стороны, для данной системы отсчета I можно использовать различные системы пространственно-временных координат, например полярные координаты. Однако в специальной теории относительности обычно используются системы координат лишь упомянутого выше типа, поэтому нет необ-
32
аддимости делать различие между системой отсчета и системой координат. Совсем иное положение в общей теории относительности, где необходимо различать систему отсчета и систему координат, используемую для фиксации событий в данной системе отсчета (рис. 8).
Событие в другой инерциальной системе также можно охарактеризовать четырьмя координатами (х', у', z', і'), определяющими систему координат S'. Эти координаты находятся тем же способом, что и для системы 5. Наша основная задача — найти соответствие между координатами (х, у, z, /) системы S и координатами (х\ у', z!, t') системы S' данного события, т. е. найти закон преобразования координат, соответствующий преобразованиям Галилея (1.1) в нерелятивистской кинематике. Поскольку любое равномерное прямо- 5
линейное движение относительно системы S остается таковым и для системы 5', то переменные (х', у', г', Ґ) должны быть линейными функциями от переменных (х, у, z, t). Для удобства предположим, что декартовы оси в S и S' параллельны, а система S' движется относительно S со скоростью V в положительном направлении оси х. Кроме того, начала координат ObSh О' в S' совпадают в момент времени t = f = 0.
Рассмотрим в S' все точки плоскости
у’ = a' = const. (2.5)
Эти точки в системе S также принадлежат Рис. 8.
плоскости
у — a = const. (2.6)
Постоянные а' и а определяют расстояние между этими плоскостями и плоскостью хг, н поскольку эти расстояния находятся с помощью измерительных линеек, движущихся различным образом, то отношение
k = a’Ia (2.7)
в общем случае не равно единице.
Эта величина может зависеть только от относительной скорости v. Ho простым рассуждением можно показать, что в действительности k = 1. Так, если изменить направления осей х, z и соответственно х’, г' на противоположные, то ни а, ни а' не изменятся, но системы ShS' поменяются ролями. Теперь
система S будет двигаться относительно S' со скоростью v в положительном
направлении оси х'. Отсюда можно, как и ранее, записать, что .
k = й/й'. (2.8)
Из (2.7) и (2.8) следует, что k" = 1, и поскольку положительные направления осей у я у' совпадают, то а п а' должны иметь одинаковый знак. Поэтому
k = I, а’ = а. (2.9)
Отсюда также следует, что для любого события его координаты у н у' совпадают, т. е.
у'= у. (2.10)
Аналогично можно показать, что
Z' =2. (2.11)
Чтобы найти формулы преобразования для остальных координат, воспользуемся постоянством скорости света в системах S и S'. Если световой сигнал испускается из общего начала координат О и О’ в момент t = t' = О,
2 Зак. 1174
33
то распространение сферической световой волны в системе S описывается уравнением
X2 + у2 + Z2 — с2/2 = 0, (2.12)
а в системе S' аналогичным уравнением
х,2 + у'2+ г'2—с2Г = о. (2.12')
Положим теперь
S2 = X2 + у2 + Z2 — сЧ~ (2.13)
и
S'2 = х'2 + if + z'3 — c2 І'\ (2.13')
Для всех значений (х, у, z, (), при которых S2 = 0, s'' также обратится
в нуль, и поскольку соотношение между (х\ у', z\ f) и (х, у, Zt і) линейно,
то s'" пропорционально S21 т. е.
s'3 = A (о) S3, (2.14)
где k — постоянная, зависящая лишь от относительной скорости v. Как и
при выводе (2.10) и (2.11), можно показать, что k — 1, откуда следует, что
