Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе - Мелёшина А.М.
Скачать (прямая ссылка):
координатами (т. е. имеет 6 степеней свободы).
10.2. Имеем ТТ массой ш. Даже если это тело сплошное, мысленно его можно
разделить на отдельные точки аг с массами гпг и положениями,
определяемыми радиусами-векторами гг (рис. 21). На каждую точку действуют
силы
со стороны других точек (обеспечивающие жесткость тела) и внешние
(например, сила тяжести). Равнодействующую сил, действующи:^ на точку аг,
обозначим через Рг. Уравнение Ньютона для точки at имеет
вид mггг = Рг. Сложим левые и правые части этих уравнений, отчего
равенство не нарушится:
2т гК = 2Рг. (***)
i i 56
Рис. 21
Для каждой внутренней силы, действующей на точку ТТ, существует
противоположно направленная сила, приложенная к другой точке ТТ (третий
закон Ньютона). Поэтому при суммировании по всем точкам внутренние_силы
будут равны нулю. Таким образом, выражение 'LFl=Fi представляет со-
1
бой сумму внешних сил.
Введем радиус-вектор /?=Етггг/2ш1 - центр масс ТТ.
i i
Заметим, что центр масс не обязательно совпадает с какой-либо точкой ТТ.
Поскольку 2mt=m, равенство (***) можно переписать так:
1 d2R
ш-^2-=Гг. ( )
Равенство (****) служит уравнением для определения R(t). Из него видно,
что центр масс ТТ движется как материальная точка с массой, равной массе
ш ТТ, к которой приложена равнодействующая всех внешних сил.
10.3. Допустим, что, решив уравнение (****); мы нашли
i?(f). Однако остается неизвестным, как повернуть ТТ вокруг точки О'. Для
характеристики этого поворота введем момент импульса ТТ: L = S [г" шг,
иг]. Согласно п. 7 З1,
d L - 1
-гг - 2[гг, ^г], т. е. сумме моментов сил, действующих на dt [
все точки ТТ. Нетрудно убедиться в том, что сумма моментов внутренних сил
ТТ равна нулю, так что остается лишь
сумма моментов внешних сил, действующих на ТТ: =
_ dt
= Е[гг, Fb]. Обозначив последнюю сумму через М, полу-
1 d? о чим: -^т- - М.
dt
10.4. Пусть ТТ вращается вокруг оси z' (рис. 22) с угловой скоростью о
Это значит, что любая точка аг (кроме точек, лежащих на оси г') имеет
скорость а, тогда как линейные скорости точек ТТ, вообще говоря,
различны. Заметим, однако, что все они перпендикулярны оси г'.
Проекция момента импульса Lz на ось г', согласно М2.6, равна: Lz=Sr,m,Vj
sin аг, где аг-угол между радиусом-векто-i
ром г, и осью г'. Введя обозначение ri, = r,sinc?" с учетом Vj=cori, (см.
п. 3.2), получим Ц=соБшгГ1г. Сумма 2тгг2н =
___________ 1 1
1 В п. 7 3 момент импульса обозначен буквой Я
Ы
= IZ не зависит от движения ТТ. Iz называется моментом инерции твердого
тела относительно оси ъ' и зависит только от распределения массы в ТТ.
Рис. 22
Таким образом, Lz-<ulz, где со - угловая скорость вращения ТТ вокруг оси
г'.
10.5. Согласно п.10.3, ¦- =М. Поскольку Iz при движе-
нии ТТ не изменяется, а <м =
dcp
dT
(см. п. 3.2), в случае вра-
щения тела вокруг неизменной оси (например, оси z) Iz=
- ~jp'=Mz, где М% - проекция на ось z момента внешних сил,
действующих на ТТ.
- d2w
10.6. Уравнения m --r==Fi и 1-гтт=Мг можно считать
dr dr
уравнениями движения (второе уравнение, как и первое, строго говоря,
должно быть представлено в векторной форме, однако при решении наших
задач это не обязательно). Первое из них имеет вид уравнения Ньютона для
точки. Решение второго уравнения <p(t) совместно с функцией R(t) является
законом движения твердого тела.
10.7. Пусть внешние силы отсутствуют, так что Fi=0 и
- d2/? - d R
М=0. Тогда из п. 10.2 следует, что-^2' =0, т. е. v~~^s=
= const. Центр масс ТТ движется прямолинейно и равно-
d2<p
мерно (по инерции). Согласно п. 10.5, ==0, т. е. ш=
42L = const. Таким образом, в отсутствие внешних сил твердое тело, вообще
говоря, вращается, причем скорость его вращения постоянна.
53
10.8. Твердое тело в большинстве случаев можно рассматривать как
вещество, сплошь заполняющее некоторый объем пространства. Тогда
выражение для момента инерции относительно некоторой оси удобно строить,
разбивая ТТ на маленькие участки объема, которые можно принять за точки,
каждая из которых имеет массу gdV, где dV - объем участка; q-плотность
(масса единицы объема), которая, вообще говоря, является функцией
координат. Теперь момент инерции ТТ относительно некоторой оси можно
представить в виде интеграла (как предела суммы) по объему всего тела: 1=
/ q (х, у, z) ri2dxdydz, где п - расстояние данной точки (х, у, z) от
оси, вокруг которой происходит вращение ТТ. Если известны плотность массы
тела в каждой точке и его геометрические размеры, интеграл можно взять.
10.9. Приводим некоторые значения момента инерции ТТ при условии, что
плотность его массы постоянна:
1) I сплошного цилиндра (или диска) относительно его оси: I=l/2mR2,
где m-масса тела, R - радиус цилиндра (или диска);
2) I полою цилиндра (обруча) относительно оси:
I==B(R12+R22), где Ri и R2- соответственно внутренний
и внешний радиусы (у обруча Ri = R2);
3) I шара относительно оси, проходящей через его центр: 1 = 2/5 mR2;
4) I однородного стержня длиной I относительно оси, проходящей
