Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе - Мелёшина А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 55. Закон движения точки описывается проекциями на оси координат:
х=а cos^t-ftpi), y=b sin(a>t+qp2), где а = 0,1м; b = 0,05 м; co=10jt; qpi
= <p2 = 60o. Найти траекторию движения точки и выяснить, нельзя ли ее
закон движения записать в более простой форме.
1. Не могу найти траекторию (339).
2. Траектория найдена, а как упростить вид закона движения, не знаю
(493).
Вывод. Если точка, движущаяся по прямой, участвует в двух колебаниях
одинаковой частоты, ее закон движения может быть записан как одно
гармоническое колебание той же частоты.
П р и м е ч а н и е. Если частоты двух таких колебания разные, закон
движения не является гармоническим.
Задача 56. Шарик массой т = 2-10~3 кг, подвешенный на нити длиной 1-2 м,
отклоняют на угол а-4° и отпускают. Считая угол малым и пренебрегая
трением, найти скорость vo шарика и энергию Е маятника при прохождении им
положения равновесия.
1. Скорость получилась иная, чем в ответе (340).
2. Путь отыскания Vo неясен (388).
3. Скорость как функция времени найдена, а как найти ее значение в
положении равновесия маятника, не знаю (400).
4. Не могу найти энергию Е (509).
Контрольные задачи
К8.1. Записать закон движения гармонически колеблющейся точки с
амплитудой 10 см, периодом 4 с и начальной фазой, равной нулю.
4* 51
К8.2. Закон движения гармонического колебания имеет вид х=А sin (cot+ф).
Определить скорость колеблющейся точки, ее ускорение. При каком условии
скорость и ускорение будут иметь максимальные значения?
К8.3. Записать выражение для закона движения гармонически колеблющейся
точки с амплитудой 5 см, если в
1 минуту она совершает 150 колебаний и начальная фаза колебаний равна
45°.
К8.4. Начертить на одном графике кривые четырех гармонических колебаний
точек с одинаковыми амплитудами, одинаковыми периодами, но имеющими
разность фаз: 1) я/4,
2) л/2, 3) я, 4) 2л.
К8.5. Начальная фаза гармонического колебания точки равна нулю. Через
какую долю периода скорость точки составит половину ее максимальной
скорости?
К8.6. Закон движения точки представлен в виде х= = sin(ji/61). Найти
моменты времени, в которые точка достигает максимальной скорости (tln) и
максимального ускорения (t2n).
К8.7. Найти траекторию плоского движения точки, если ее закон движения
имеет вид: х= a cos cot, y=bsincot.
К8.8. Найти закон движения точки, гармонически колеблющейся с частотой (о
= 3/2 рад/с, если в начальный момент времени: а) точка находилась в
положении х=/= = 2 м и имела скорость vo=0; б) точка находилась в
положении х - 1=-2 м и имела скорость Vo=+3 м/с.
9. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ
9.1. Создав основы классической механики, Ньютон решил задачу типа I: по
закону движения планет (законы Кеплера) нашел гравитационную силу,
действующую между Солнцем и Землей (планетой):
F=const m/r2-r/r, где m - масса планеты; г - расстояние ее центра от
центра Солнца; г - радиус-вектор планеты (при начале координат в центре
Солнца). Оказалось, что этот закон верен для любой пары тел, если
рассматриваемые расстояния между телами таковы, что тела можно считать
точечными. Поэтому закон назван законом всемирного тяготения и может быть
записан в виде зависимости силы от расстояния между телами: F==-
yrnirn2/R2, где у - гравитационная постоянная, Y"6,67- 10-и Н-м2-кг-2;
mi, ш2-массы взаимодействующих (точечных) тел; R - расстояние между ними.
52
9.2. Простым расчетом можно показать, что два однородных шара
притягиваются друг к другу так, как если бы масса каждого шара была
сосредоточена в его центре. В частности, взаимодействие между точечным
телом, находящимся на поверхности Земли, и Землей можно описывать как
взаимодействие между точкой и центром Земли, если считать, что вся ее
масса сосредоточена в центре. Поэтому гравитационная сила, действующая на
тело (точку), находящееся на поверхности Земли. Fg = YMm/R2, где М-масса
Земли; m - масса тела; R - радиус Земли (расстояние до центра Земли).
Радиус Земли R можно считать приблизительно постоянным. Поэтому
yMR2=g=const (ускорение поля тяжести g=9,81 м/с2). Поскольку сила Fg
направлена к центру Земли (а на поверхности Земли это направление
соответствует направлению по вертикали), то вектор силы Fg=mg, где g -
ускорение, направленное по вертикали вниз. Этим выражением для силы
тяжести мы уже пользовались (см., например, задачи 1-4).
Если проводить более точные исследования силы притяжения к Земле, то
нужно учитывать то обстоятельство, что значения g неодинаковы в разных
точках Земли, поскольку ее форма не шар, а геоид, сплюснутый у полюсов.
9.3. Есть и другой фактор, влияющий на силу притяжения тела к Земле:
вращение земного шара. Если тело находится не на полюсе, то на него
действует центробежная сила, возникающая потому, что тело оказывается во
вращающейся системе. Центробежная сила f=imco2r (со - угловая скорость
точки; г - расстояние ее от оси вращения) и направлена от оои (см. п.
5.3). Если тело находится на широте ф (рис. 19), r=Rcosqp, так что
