Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, в формуле (8.9) можно рассматривать г (г) как сложную
функцию г [s (г)] и вычислить ее производные по правилу дифференцирования
сложной функции:
dr dr ds
dt ds dt '
(8.13)
Величина As - расстояние между двумя точками вдоль траектории, | Дг | -
расстояние между ними по прямой линии. Ясно, что по мере сближения точек
разница в этих величинах уменьшается. Поэтому можно написать:
dr Дг т Дг I Дг |
-г = lim х- = lim x-r-: -т-L == х, ds д8-о1Дг1
где т - единичный вектор, касательный к траектории. Кроме того, по
определению, (ds/dt) = v есть абсолютное значение скорости по траектории.
Поэтому формула (8.13) приобретает вид
v = IV. (8.14)
Отсюда следует, что скорость направлена по касательной к траектории.
Ускорение. Ускорением называется скорость изменения скорости. Пусть в
моменты t и t + Дг скорости равны соответственно v (г) и v (г + Дг).
Значит, в течение промежутка времени Дг скорость изменилась на Ду = v (г
Дг) - v (г). Среднее ускорение за Дг равно (рис. 13)
wCp(?, г + Дг) = д^-. (8.15)
Будем изображать векторы v (г) в различные промежутки времени исходящими
из общего начала. Конец вектора v (г) опишет кривую, которая называется
годографом скоростей (рис. 14). Уменьшая неограниченно промежуток'
времени Дг, на котором вычисляется средняя скорость, получаем в пределе
ускорение
,. Ду d\
w = lim -т: - -гг-
Д1 _0 ^ dt
(8.16)
Учитывая, что v = drldt, a r = \х -J- jy + kz, ускорение можно выразить в
виде w = d2r/dt2, или
8. Перемещение, скорость и ускорение материальной точки
61
Следовательно, компоненты ускорения в декартовой системе координат
выражаются формулами:
у/(О
W v =
(Рх
dP
d2y
~ dt2
d2z
Wz"=lP'
Теперь необходимо изучить вопрос об ориентировке ускорения относительно
скорости и траектории движения. На рис. 14 видно, что ускорение всегда
касательно годографу скорости, но может иметь произвольный угол
относительно нее. Поскольку скорость всегда касательна к траектории
движения, это означает, что ускорение может быть направлено под любым
углом к касательной к траектории движения. Чтобы выяснить, от чего
зависит направление ускорения, вычислим его, исходя из формулы (8.14):
(8.18)
Годограф скоростей
Это кривая, которую описывает конец вектора скорости, проведенного из
фиксированного начала (точка О)
d\ d , , dx , dv
dt
dt *
(8.19)
Единичный касательный вектор т полностью определяется точкой траектории,
а точка траектории однозначно характеризуется своим расстоянием 5 от
точки, принятой за начальную. Поэтому вектор т является функцией от s, т.
е. т = = т (s), a s является функцией от времени. Поэтому можно написать
(dxldt) = = (dx/ds)(ds/dt). Вектор т по абсолютному значению неизменен.
Отсюда следует, что вектор (dx/ds) перпендикулярен т. Чтобы в этом
убедиться, достаточно продифференцировать равенство х2 = 1, выражающее
постоянство абсолютного значения вектора т: [d (x2)/ds} = = 2 (xdx/ds) =
0. Но если скалярное произведение двух векторов равно нулю и ни один из
них не равен нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Таким
образом, действительно, т и dx/ds
I
Нормальная компонента ускорения не изменяет абсолютного значения
скорости, а изменяет лишь ее направление.
62
Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
I
Изменение абсолютного значения скорости обусловлено только тангенциальной
составляющей ускорения.
V = XV.
взаимно перпендикулярны. Вектор т направлен по касательной к траектории.
Следовательно, вектор dx/ds перпендикулярен этой касательной, т. е.
направлен по нормали, которая называется главной. Единичный вектор в
направлении главной нормали обозначается п. Значение вектора dx/ds равно
(1/i?), где R называется радиусом кривизны траектории.
Точка, отстоящая от траектории на расстоянии R в направлении главной
нормали п, называется центром кривизны траектории. Таким образом, можно
написать
dr
ds
n
if
(8.20)
Учитывая, что (ds/dt) = v есть абсолютное значение скорости, можно
формулу (8.19) с учетом (8.20) записать окончательно в виде
v2 , dv W=-nR + Xdf
(8.21)
15.
Разложение вектора полного ускорения w на составляющие: тангенциальное wt
и нормальное w" ускорения
Точка О есть центр криаиэны тра-•ктории; Т - единичный касательный
еектор; П - единичный аектор а направлении главной нормали
9. Движение точки по окружности
63
Полное ускорение состоит из двух взаимно перпендикулярных векторов;
ускорения т (dv/dt) - wT, направленного вдоль траектории движения и
называемого тангенциальным, и ускорения (nv2/R) = = wn, направленного
перпендикулярно траектории по главной нормали, т. е. к центру кривизны
траектории (рис. 15), и называемого нормальным. Из (8.21) после
возведения его в квадрат и с учетом того, что (п, т) = 0, находим
абсолютное значение полного ускорения:
w
= /w
2\2 fdv\2
[<п
(8.22)
9. Движение точки по окружности
Угловая скорость. Это движение удобно рассмотреть в цилиндрической
системе координат, совместив начало координат с центром окружности и
