Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
одного положения переведено в любое другое одним поворотом на некоторый
угол вокруг неподвижной оси, проходящей через точку закрепления.
Теорема Эйлера справедлива как в случае бесконечно малых перемещений
тела, так и в случае конечных. Для доказательства очертим в твердом теле
некоторую сферу единичного радиуса с центром в закрепленной точке и
проведем на этой сфере дугу АВ. Положение этой дуги полностью
характеризует положение твердого тела. При его движении положение дуги
меняется в пространстве, оставаясь на поверхности сферы единичного
радиуса. Утверждение теоремы Эйлера сводится к тому, что дуга А В может
быть переведена в любое другое положение одним поворотом. Рассмотрим два
положения дуги на сфере: АВ и А'В' (рис. 24, а). Соединим точки А и А', В
и В' дугами больших кругов. Затем через середины этих дуг проведем
перпендикулярно им дуги больших кругов до пересечения в точке О'. Из
построения
I
Точна соприкосновения колеса с землей неподвижна. Грязь, отбрасываемая
колесами автомобиля назад, отлетает от не соприкасающихся с землей точек,
находящихся в движении.
Опишите метод нахождения мгновенной оси вращения.
В чем состоит доказательство теоремы Эйлера)
Из каких скоростей слагается скорость точек твердого тела при
произвольном движении)
Если тело движется поступательно, то где ось вращения)
74
Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
24.
К доказательству теоремы Эйлера
Дуга АВ сферы одним вращени-ем вокруг оси, проходящей через центр сферы и
точку О', может быть совмещено с дугой А'В'
I
Произвольное движение твердого тела может быть представлено как движение
некоторой точки и вращение тела с мгновенной угловой скоростью,
проходящей через эту точку.
видно, что сферический треугольник А О1 В' равен сферическому
треугольнику А'О'В. Поэтому вращением вокруг оси, проходящей через точку
О' и центр сферы, они могут быть совмещены друг с другом. Тем самым
теорема Эйлера доказана. На рис. 24, б показано аналогичное построение
для нахождения мгновенной оси вращения в плоском движении (точка О здесь
соответствует точке О' на рис. 24, а).
Из теоремы Эйлера непосредственно следует, что движение закрепленного в
точке твердого тела в каждый данный момент может рассматриваться как
вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку закрепления.
Положение этой мгновенной оси с течением времени меняется как
относительно точек твердого тела, так и относительно неподвижной системы
координат, в которой твердое тело закреплено в одной точке. Скорость
точек твердого тела представляется в виде
v = [<йм, г], (10.6)
где <йм - мгновенная угловая скорость, г - радиус-вектор относительно
закрепленной точки. Пользуясь тем, что угловая скорость "м является
вектором, можно представить ее как сумму двух векторов (рис. 25): один
вектор направлен вдоль линии ОА', закрепленной относительно точек тела;
другой - вдоль линии ОБ, неподвижной в системе координат, в которой
рассматривается движение твердого тела, т. е.
<oM = "o + "', v = [(c)0, г] + [ю', г]. (10.7)
Представив скорость тела в таком виде, можно сказать, что его движение
слагается из двух: вращения с угловой скоростью со' вокруг оси, имеющей
неизменное положение относительно тела,
10. Движение твердого тела
75
и вращения с угловой скоростью (й0 относительно оси, имеющей неизменное
направление в пространстве. Угловая скорость (о0 при движении меняется
лишь по значению, но не меняет своего направления. Угловая скорость to'
меняется как по значению, так и по направлению. Скорость каждой точки
равна сумме двух скоростей: [<й0>г1 - скорости вращения тела вокруг
неподвижной оси и 1ю\ г] - скорости вращения тела относительно
закрепленной в теле оси, которая вращается вместе с телом вокруг
неподвижной оси.
Произвольное движение твердого тела слагается из движения некоторой точки
тела и движения тела относительно этой точки, рассматриваемой как точка
закрепления. Следовательно, изложенное выше дает полное описание движения
твердого тела.
25.
Разложение вектора мгновенной угловой скорости 6>м вращения твердого тела
на составляющие: 0)0 и (o'
Направление угловой скорости (do неизменно относительно неподвижной
системы координат, а угловой скорости О)' неизменно относительно тела, но
меняется относительно неподвижной системы ко*-ординат
Глава 3
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ
11. Принцип относительности
12. Преобразования Галилея
13. Постоянство скорости света
14. Преобразования Лоренца
Вопрос о преобразовании координат, относящихся к одной и той же
инерциалыюй системе отсчета, является чисто математическим, а вопрос о
преобразовании координат, относящихся к различным ииерциальным системам
отсчета, является вопросом физики.
Он может быть решен только с помощью эксперимента.
11. Принцип относительности
Геометрические преобразования координат. Положение точек относительно
материального тела, принятого за систему отсчета, описывается с помощью
