Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
умножить обе части этого равенства на соответствующий единичный вектор.
Например, чтобы найти координату х,
А - iАх -f- }Ау -f- kAz, В = \ВХ -f- j By -j- к В z.
(6.13)
Складывая векторы А и В, получаем С = А + В = i (Ах Вх) -f- j (Ау-\- By)
-f-k (Az -\-Вг).
(6.14)
С* = -}-i?x, Су - Ау -f- By, Cz - Az-\-Bz.
(6.14a)
(A, B) - AXBX -}- AyBy -f- AZBZ.
(6.15)
[A, B] = i {AyBz - AZBV) + j (AZBX - AXBZ) + k {AXBV - AyBx). (6.16)
(6.16a)
r = a -f r\
(6.17)
i* + W + kz = a -f i'x' -f jy + k'z'.
(6.18)
6. Векторы
47
11.
Преобразование координат
Вектор а характеризует положение начала штрихованной системы ко-ординат
относительно нештрихованной, а косинусы углов между ортами той и другой
систем определяют их взаимную ориентировку в пространстве
надо произвести это умножение на вектор i. В результате получим
z=(a, i) + (i', i)x' + (j', i)y' + (k'f i)z', или, что то же самое, x =
a* + cos(i', i)x' + cos(j', i)y'-f -j-cos(k', i)z\ (6.18a)
Таким образом, для преобразования необходимо знать углы между осями
координат и взаимное расположение начал координат.
Аналогичным образом находим выражение для координат у и г. Чтобы найти
обратные формулы преобразования для я', у', z', необходимо произвести
скалярное умножение на соответствующий единичный вектор i', j', к'.
Например, умножая обе части (6.18) на i', найдем
(", i')z + (j. *')У + (к, i')z = (a, i') + x\ или
= - a; + cos(i, i')x-f-cos (jTi')y +
-f-c.os(k, i')z. (6.19)
В этой формуле a'x - (a, i') есть х-я
компонента вектора а в штрихованной системе координат. Этот вектор
направ-
I
Радиус-вектор, по определению, исходит из начала координат. Другие
векторы имеют начало, вообще говоря, в других точках.
Связь положения точки относительно различных начал с помощью радиусов-
векторов очень проста. Эта связь выражается через величины конкретных
систем координат с помощью формул преобразования координат и имеет более
сложный вид.
48
Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
лен к началу штрихованной системы. Если изменить его направление так,
чтобы он начинался в точке О' штрихованной системы координат и
заканчивался в точке О нештрихованной, то в формуле (6.19) в первом члене
правой части знак изменится на обратный и она станет полностью
аналогичной формуле (6.18а). Если начала систем координат совпадают, то
вектор а обращается в нуль. Чтобы упростить формулы преобразования,
введем обозначения:
х =Xi, у = х2, г =х3\
х'=х\', у -х 2', г' = хз'\
i - Ci, j - Сг, k = е3,
i' = ен, j' = e2', k'=e3',
cos (em, en')== oCmn' (Щ =z 1 > 3, 3, ti 1 , 2 , 3 ).
Обозначение штрихом отнесено к индексу, что, как это сейчас будет видно,
более удобно. Тогда преобразования (6.18а) при а = 0 запишутся следующим
образом:
х1 = = OCii'Xi' + СС12'Х2' + ai3'X3',
Х2 = = a-x'Xf + СХ,22'Х2' + СС23'ХЗ',
Хз = = азгхи + ОСз2'Х2< + азз'Яз'.
(6.20)
В таком виде их очень просто запомнить. Аналогично можно записать
преобразования (6.19). Рекомендуется сделать это в качестве упражнения.
Рассмотрим применение формул (6.20) для двухмерного случая (а;3 = 0, х3'
= 0), изображенного на рис. 12:
an- = cos (e3. ер) = cos <p, ai2< = cos (ei, e2-) "= - sin ф, a2i- =
cos(co, ei-) -sinф, a22' = cos(e2, е2') = со8ф.
Поэтому формулы преобразования (6.20) принимают следующий вид: Хл - cos ф
• Xu - sin ф • Х-и ,
(6.21)
Х2 - Sin ф • Х\' -j- cos ф • Х2' ¦
Преобразование компонент векторов. Раньше уже было отмечено, что не
всякая физическая величина, характеризуемая тремя числами, является
вектором.
Чтобы физическая величина была вектором, необходимо, чтобы эти три числа
вели себя при переходе из одной системы координат в другую как компоненты
радиуса-вектора при преобразованиях (6. 20).
Формулы (6.20) описывают преобразования компонент радиуса-вектора при
произвольных относительных движениях систем координат, начала которых
совпадают. Можно показать, что эти дви-
6. Векторы
49
12.
Вращение системы координат
В двухмерном случае при совпадении начал взаимная ориентировка осей
координат полностью характеризуется углом поворота между осями Х\ и Х\
жения сводятся к вращениям. Естественно потребовать, чтобы при указанном
преобразовании координат компоненты любого вектора преобразовывались бы
по тем же формулам, что и компоненты радиуса-вектора, т. е. по формулам
(6.20), в которые вместо величин хт и хп< должны входить соответствующие
компоненты вектора, а коэффициенты апт< должны быть теми же самыми. Если
три числа, характеризующие физическую величину, преобразуются по
указанным формулам, то она называется вектором, а числа - компонентами
вектора.
Может случиться, что физическая величина в некоторой системе координат
определяется тремя числами, однако при переходе в другую систему
координат преобразуется не по формулам вида (6.20), а по некоторым
другим. Тогда эта величина не будет вектором. Например, известна важная
физическая величина, описывающая поведение твердого тела при вращениях и
