Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
проходящей через его центр массы. По теореме Гюйгенса имеем I - /0 + ml2,
и формула (51.15) для периода колебаний физического маятника принимает
вид
Т =*2nV{I0-\-ml2)/mgl = 2nV(Io/mgl)-\-(l/g). (51.17)
Сравнение формул (51.16) и (51.17) показывает, что математический
маятник, длина которого равна расстоянию между точкой подвеса и центром
масс физического маятника, имеет меньший период, чем физический маятник.
Чтобы период колебаний математического маятника был равен периоду
колебаний физического маятника, его длина должна быть больше. Длина
математического маятника, период колебаний которого равен периоду
колебаний физического маятника, называется приведенной длиной
соответствующего физического маятника. Из сравнения формул (51.16) и
(51.17) видно, что приведенная длина физического маятника равна 1пр =
(I/ml). Точка физического маятника, расположенная на расстоянии /Пр от
точки
51. Плоское движение. Маятники
315
подвеса на прямой, проходящей через центр тяжести, называется центром
качаний. Если физический и математический маятники с приведенной длиной
колеблются около одной и той же оси, то материальная точка
математического маятника и центр качания физического маятника движутся
синхронно, если их вначале одинаково отклонить и одновременно отпустить
колебаться.
Основное свойство центра качаний физического маятника состоит в том, что
при подвесе маятника на ось, проходящую через этот центр, период
колебаний не изменится. Таким образом, при переносе точки подвеса в центр
качаний прежняя точка подвеса становится новым центром качаний, т. е.
точка подвеса и центр качания обратимы. Доказательство следует
непосредственно из теоремы Гюйгенса и формулы для периода колебания
маятника.
Если амплитуды колебаний физического маятника не очень малы, то от
уравнения (51.13) нельзя перейти к (51.14). В этом случае необходимо
решать нелинейное уравнение (51.13):
-- к sin а, к - mgl/I. (51.18)
При интегрировании отсчет удобно вести от положения максимального
отклонения а0, когда скорость маятника равна нулю (а0 = 0). Имеем
\ada = - к sin а da. (51.19)
а" а0
Преобразуем подынтегральные выражения:
ada - aadt - -f- dt = d (~), sin a da - - d cos a
dt \ Z / \ 2 / '
и из (51.19) находим
a2 = 2/t; (cos a - cosa0). (51.20)
Это равенство выражает закон сохранения энергии для маятника.
Переписав уравнение (51.20) в виде da - Y^kdt, (51.21)
У cos a - cos a"
можно интегрированием найти решение задачи в неявном виде:
316
Глава 11. Д144АМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Воспользовавшись формулой cos а = 1 - 2 sin2 (а/2), получаем
da
J Vsina (а0/2) - sin2 (а/2)
21fkt. (51.22)
Введем новую переменную интегрирования 0 с помощью соотношения
sin 0 = sin (a/2)/sin (a0/2). (51.23)
Тогда равенство (51.22) принимает следующий вид:
db
Vi - sin2 (a0/2) sin2 б
= Vkt. (51.24)
Интеграл, стоящий в левой части, называется эллиптическим. Он хорошо
изучен. Составлены таблицы его значений, с помощью которых можно
проанализировать колебания маятника с любыми углами отклонений. Однако
для не слишком больших углов целесообразно представить этот интеграл
приближенной аналитической формулой, удобной для анализа. В случае sin4
(a0/2) 1 можно подынтеграль-
ное выражение (51.24) разложить в ряд и ограничиться двумя членами:
db
del 1 -^-sin2 (a0/2) sin2 0...') =
1^1 - sin2 (a0/2) sin2 6
:P+|sin"f(p-s-i^) + ... (51.25)
Таким образом, связь между временем колебания и углом отклонения маятника
дается в виде
Р +1 sin2 ^ (р - = Vk f, (51.26)
4 2 2
где sin р определяется равенством (51.23): sin р = sin (a/2)/sin (a0/2).
Отсюда видно, что когда угол отклонения а изменяется от 0 до а0, т. е.
проходит х/4 периода Т колебаний, величина р изменяется от О до л/2 и из
уравнения (51.26) находим
f + Tsi"2f =
откуда
гг, 2я 1л . 1 2 (r)о\ /К* 07\
52. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскопы
317
Сравнивая эту формулу с (51.15) для периода малых колебаний и принимая во
внимание выражение для к в (51.18), можно ее переписать в виде
где Т0 = 2лУI/mgl есть период малых колебаний.
Пусть, например, максимальное отклонение а0 = 60°. Поскольку sin 30° =
V2, то заключаем, что период больших колебаний маятника в этом случае
отличается от периода малых колебаний примерно .на 6%. Отсюда можно
сделать вывод, что линейное приближение довольно хорошо описывает
движение физического маятника не только при очень малых углах отклонения,
но и при достаточно заметных углах.
52. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскопы
Рассмотрение картины плоского движения упрощается тем обстоятельством,
что вектор угловой скорости сохраняет в этом случае постоянное
направление в пространстве, перпендикулярное плоскости движения, и не
изменяет своей ориентировки относительно тела. При движении твердого тела
около одной закрепленной точки все эти упрощающие обстоятельства
исчезают: вектор угловой скорости, вообще говоря, изменяет направление в
пространстве и свою ориентировку относительно тела, т. е. мгновенная ось
