Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
Скатывание цилиндра (без скольжения) с наклонной плоскости
I
Ускорение вращающегося диска в маятнике Максвелла постоянно и направлено
все время вниз. В нижней точке, когда меняется направление скорости
движения, происходит резкое увеличение силы натяжения нити.
инерции диска. Уравнения (51.5) и (51.3) имеют вид:
т {dvo/dt) = mg si n а -T, Iо (d(o/dl) = R0T,
(51.7)
где /0 = mRl/2 и отсчет направлений вращения выбран так, чтобы со было
положительным и увеличивалось при скатывании цилиндра.
Подставляя Т из второго уравнения (51.7) в первое и учитывая, что v0 =
(oR0 (R0 - радиус цилиндра), получим:
m
2
dv0
dt
dv0 . /0 dva
-^г = mg sin а щ -~
dvn
m = mg sin a;
или
dt
= -Д gsina.
(51.8)
(51.9) (51.10)
Таким образом, центр цилиндра движется с постоянным ускорением 2/3 g sin
a.
Маятник Максвелла. Маятник Максвелла представляет собой диск, подвешенный
на нити. Нить намотана на ось диска (рис. 110). Уравнения движения
маятника относительно центра масс имеют вид:
m(dv0/dt)= mg - Т, I0(da>/dt) = R0T,
(51.11)
где Я0 - радиус оси диска, на которую намотана нить, /" - момент инерции
всей системы относительно оси, Т - сила натяжения.
В отношении сил и их моментов маятник Максвелла полностью аналогичен
цилиндру, скатывающемуся с наклонной плоскости.
Таким образом, уравнения для маятника Максвелла имеют точно такой вид,
как и уравнения для скатывания цилиндра с наклонной плоскости, и решаются
аналогично. Получаем
Маятник Максвелла
dvо dt
mg
mg
т+(/ //?б) '
1 -f- (тЩ/Ip)
. (51.12)
51. Плоское движение. Маятники
313
Проследим динамику маятника. Ускорение диска постоянно и всегда
направлено вниз. Его величина тем меньше, чем больше центральный момент
инерции /0. При достаточно большом моменте инерции /0 диск будет иметь
очень малое ускорение. В пределе при /0 ->¦ оо ускорение (dv0/dt) О, а
при /0 0 диск падает как свободное
тело. Сила натяжения нити изменяется в обратном порядке: чем больше
момент инерции, т. е. меньше ускорение, тем сила натяжения больше. При /0
оо сила натяжения Т -> mg\ это, очевидно, так и должно быть, потому что
диск просто висит на нити без движения. При /0 О сила натяжения Т -* 0. В
этом случае диск свободно падает и поэтому нить не испытывает никакого
натяжения.
Уравнения (51.11) и решение (51.12) не описывают поведения маятника в
нижней мертвой точке, когда происходит переброс нити с одной стороны на
другую сторону цилиндра. Диск продолжает вращаться в прежнем направлении,
но теперь нить не разматывается с цилиндра, а наматывается на него. Для
наматывания также справедливы уравнения (51.11) и решение (51.12). В
процессе наматывания нити диск поднимается и его кинетическая энергия
превращается в потенциальную, скорость подъема уменьшается. В течение
времени переброса нити в нижней мертвой точке происходит изменение
направления скорости vtt на обратное. Поэтому в это время центр масс
диска испытывает большое ускорение. По третьему закону Ньютона, это
приводит к большому натяжению нити. Если нить недостаточно прочна, то она
может порваться.
Физический маятник. Физическим маятником называется твердое тело,
подвешенное на горизонтальной оси в поле тяготения (рис. 111). Движение
маятника как целого отсутствует. Поэтому уравнение движения (48.1) нет
необходимости
I
Нинетичесная энергия катящегося цилиндра слагается из нинетичесних
энергий поступательного движения центра масс и вращения. Поэтому при
снатывании по наклонной плоскости скорость центра масс цилиндра меньше,
чем если бы он соскальзывал без вращения.
?
1 Почему для плоского движения целесообразно уравнение движения и
уравнение моментов записывать относительно точки, через которую проходит
центральная главная ось, перпендикулярная плоскости движения!
I
I
Физический маятник
314
Глава 11. ДШАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
писать. Уравнение моментов имеет следующий вид (рис. 111):
I (dw/dt) - - mgl sin a, w - da/dt. (51.13)
Знак минус в уравнении означает, что момент сил направлен против
увеличения угла а; I есть момент инерции относительно оси, проходящей
через точку подвеса.
Если угол отклонения мал, то с большой точностью можно считать, что sin а
= а, и переписать уравнение (51.13) в виде
^- + ^•" = 0. (51.14)
Решениями этого уравнения являются функции sin {mglll)4*t или cos
(mgl/iy^t. Маятник совершает колебания с малой амплитудой, частота и
период которых определяются формулами:
Q = У mgl/I, Т - 2n/Q - 2n]/rI/mgl. (51.15)
Такие колебания называются гармоническими. Их свойства будут рассмотрены
в гл. 13. Здесь же отметим лишь некоторые обстоятельства.
Пусть физический маятник состоит из материальной точки массы т,
подвешенной на невесомом твердом стержне длиной I и колеблющейся около
точки О. Такой маятник называется математическим. Заметив, что для него
как твердого тела I = ml2, из (51.15) находим период колебаний
математического маятника:
Т - 2л У ml2/mgl - 2п\/Гl!g. (51.16)
Обозначим через 10 момент инерции физического маятника относительно оси,
