Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
/0 - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, а I -
относительно оси А В, не проходящей через центр масс. По определению
моментов инерции имеем:
/0 = 2 т{Щ, / = 2 т{г!.
(49.11)
На рис. 108 непосредственно видно, что г{ = a -j- R{ и, следовательно, г?
= R\ + + а2 + 2 (a, R). Поэтому получаем
/ = 2 т{г\ =
= 2 miRi + "* 2 тг + 2(а, 2
(49.12)
Учтем, что SmjRi - 0 по определению оси, проходящей через центр масс, а
2/tti = т есть масса тела. Поэтому (49.12) принимает вид
I = /0 + та2
(49.13)
Эта формула выражает теорему Гюйгенса. Зная момент инерции тела
относительно некоторой оси, проходящей через центр масс, можно легко
вычислить момент инерции относительно любой другой параллельной оси.
Рассмотрим, например, цилиндр, момент инерции которого относительно его
50. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
307
оси дается формулой (49.10). Центр масс цилиндра расположен па оси
цилиндра и поэтому (49.10) есть момент инерции относительно оси,
проходящей через центр масс. Момент инерции цилиндра относительно оси А
В, лежащей на поверхности цилиндра параллельно его оси, находим по
формуле (49.13):
Если бы этот момент определять по формуле (49.7), то вычисления оказались
бы значительно сложнее.
Момент шара относительно оси А В, касающейся его поверхности, также легко
находится с помощью формулы (49.13):
где учтено, что момент шара относительно оси, проходящей через центр
масс, равен 2mRiJb.
50. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
Вычисление в координатах. Уже неоднократно отмечалось, что векторные
обозначения имеют большие преимущества наглядности, но конкретные
численные расчеты во многих случаях проще проводить в координатах,
благодаря чему задача сводится к чисто арифметическим операциям.
Оси координат удобно нумеровать числами, как это было объяснено в § 6.
Поэтому координаты точки (х, у, z) будем обозначать как (xv г2, :г3),
компоненты вектора (Ах, Ау, .4г) - как (Alt Л2, А3) и т. д. Формула
(5.17) для скалярного произведения в этих обозначениях записывается так:
В вычислениях суммы такого вида встречаются довольно часто и поэтому
условимся не выписывать каждый раз знак суммы, а всегда, когда в
произведении встречаются две величины с одинаковым индексом,
подразумевать суммирование по этим индексам. Например, формула (50.1) при
таком соглашении записывается следующим образом:
Кроме того, в вычислениях полезно использовать символ Кронскера 6ар,
который определяется так:
/ = (тЩ/2) -j- тЯ"= (3/2) тЩ.
(49.14)
(49.15)
(А, В) = -f-А2В2-f-АЭВ3 - У) АаВа.
(50.1)
а
(А, В) = АаЯа.
(50.2)
при а = р, при а=^р.
(50.3)
308
Глава 11. ДЮАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
С помощью этого символа удобно преобразовывать различные выражения, как
это будет сейчас показано.
Компоненты тензора инерции 1ХХ, 1Ху и другие обозначим соответственно как
1п, 112 ит. д., т. е. они имеют вид /ар, а формулы (49.3а) переписываются
следующим образом:
= (xiyxiy~ *ii). ^i2 = - ?щхнЩ2, (50.4)
113 = - 2 mixi\xi3i
где использовано условие (50.2) при записи г\ = ХцХц + xi2xi2 + + xi3xi3
= xiyxiy'i У означает индекс суммирования. Аналогичным образом выражаются
и другие компоненты.
Равенства (49.3) принимают следующий вид:
где а = 1, 2, 3. Индекс Р входит в произведение дважды и, следовательно,
подразумевается суммирование по нему. Этот индекс называют иногда немым,
потому что не играет роли, какой буквой его обозначить, лишь бы эта буква
отличалась от других индексов, которые не входят в суммирование.
Например, (50.5) можно записать
Как ц 1ау(&у ИЛИ Nд = ^agCOg.
Любую из компонент вектора Аа можно выразить через другие компоненты с
помощью символа (50.3) и условия суммирования:
Если это равенство расписать подробно, то оно имеет такой вид:
Из СИМВОЛОВ ба1, ба2, баз отличным от нуля будет лишь тот, у которого а
равен другому индексу. Пусть, например, а = 2, тогда из (50.7) получаем
^42=== 0 • ^4 j -1 • А2-\~ 0 • Ад = А2.
С помощью символа Кронекера выражения (50.4) для тензора инерции можно
представить в следующем удобном для вычисления виде:
/ар= (SJi'Y^'iv^aP xlaxi$' (50.8)
Кинетическая энергия вращения. Если переносная скорость твердого тела v0
- 0, т. е. тело вращается с мгновенной скоростью щ, проходящей через
неподвижную точку тела, то скорость его точек
(50.5)
(50.6)
Аа = 6aiAi -f- б02-^2 + бсзАз-
(50.7)
\* = [а>, г*']
(50.9)
50. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
309
и, следовательно, его кинетическая энергия р-вна
ГП2-
(50.10)
Используя формулу, известную в векторной алгебре, для квадрата векторного
произведения:
С помощью правила суммирования и 6-символа это выражение в координатах
принимает вид
[(О, Г,]2 = (ОдСОдХфХф 0)aXja,(0pXi(5 = С0аС0р (х,уХ-1^6д($ Х{д,Я-гр)*
(50.12)
Подставив эту формулу в (50.10) и учитывая (50.8), получим кинетическую
энергию вращения:
Здесь /ар есть тензор инерции, отнесенный к осям координат, жестко
связанным с телом и движущимся с ним. Начало системы координат покоится,
