Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
(42.5)
Упругие и неупругие столкновения. Процессы столкновения делятся на
упругие и неупругие в соответствии с характером изменения внутренней
энергии частиц при их взаимодействии. Если внутренняя энергия частиц при
этом изменяется, то столкновение называется неупругим, если не
изменяется, то столкновение упругое. Например, столкновение бильярдных
шаров, в результате которого они несколько нагреваются, является
неупругим, поскольку изменилась внутренняя энергия. Однако если
бильярдный шар сделан из достаточно подходящего материала (например,
слоновой кости), то его нагревание незначительно и можно с большой
точностью считать, что оно вообще отсутствует. В этом предположении удар
бильярдных шаров можно рассматривать как упругое столкновение. Иногда
говорят об абсолютно упругом столкновении, чтобы подчеркнуть, что
внутренняя энергия сталкивающихся частиц абсолютно точно неизменна.
Говорят также об абсолютно неупругом столкновении, если в конечном
состоянии вся энергия превратилась во внутреннюю. Например, лобовой удар
двух шаров из мягкого материала одинаковой массы, которые после удара
сливаются в одно покоящееся тело, является абсолютно неупругим
столкновением.
276
Глава 9. СТОЛКНОВЕНИЯ
Система центра масс. Рассмотрение столкновений значительно упрощается,
если его проводить в системе центра масс (см. § 23). В этой системе
законы сохранения энергии и момента импульса имеют такой же вид, как
(42.3) и (42.5), а закон сохранения импульса (42.1), поскольку, по
определению, сумма импульсов частиц в системе центра масс равна нулю,
записывается в более простом виде:
i>i=2pi=°- <42-б>
t = i j = 1
43. Упругие столкновения
Столкновения двух частиц в нерелятивистском случае. Выберем систему
координат так, чтобы одна из частиц, например вторая, до столкновения
покоилась, т. е. р2 = 0. Тогда законы сохранения энергии и импульса
запишутся следующим образом:
Pi
Ря
+
/2
Р2
2т1 2 тх 1 2 т2
Pi = Pj + Р21
(43.1)
(43.2)
где кинетическая энергия выражена через импульс [(mv2/2) - р2/2т] и
учтено, что при упругом столкновении внутренняя энергия не изменяется.
Подставив значение р{ = рх - р2 из (43.2) в уравнение (43.1), находим
(Pi. Pi) = Рг {*ni + m2)/2m2. (43.3)
Обозначим угол между Pj и р2 через 0. Тогда (рх, р2) = ргр2 cos 0 и из
уравнения (43.3) получим следующее выражение для р'ъ которое полностью
решает рассматриваемую задачу:
р2 = 2 [т21(ш1 -f- Hi2)J pi cos 0. (43.4)
Теперь можно осуществить простое геометрическое построение, которое
позволит описать результат столкновения. Проведем из некоторой точки О
вектор рх, изображающий импульс налетающей частицы (рис. 100). Затем
построим окружность радиуса 2[т2/{т1 + + т2)]р! с центром, лежащим на
прямой, совпадающей с вектором pt таким образом, чтобы окружность
проходила через точку О. Поскольку угол вписанного в окружность
треугольника, опирающегося на диаметр, равен л/2, все отрезки,
проведенные из О к точкам окружности, удовлетворяют уравнению (43.4).
Следовательно, эти отрезки дают импульс после столкновения той частицы,
которая до столкновения покоилась. Из закона сохранения импульса (43.2)
43. Упругие столкновения
277
100.
Графическое решение задачи на столкновение двух частиц при mi>ni2
сразу следует, что импульс падающей частицы после столкновения дается
построением, указанным на рис. 100. Угол между импульсами первой и второй
частиц после столкновения равен а. Угол р является углом отклонения
налетающей частицы от направления движения до столкновения. Нетрудно
чисто геометрически найти также величину р\. Таким образом, все величины,
характеризующие столкновение, полностью определены. На рис. 100 изображен
случай, когда 2m2/(m1 + т2) < 1, т. е. когда масса налетающей частицы
больше массы покоящейся (тх >¦ т2), которая называется мишенью. Из рис.
100 непосредственно видно, что угол разлета а между частицами после
столкновения изменяется от л/2 до 0. Максимальное значение импульса р[
будет тогда, когда мишень после столкновения движется почти
перпендикулярно скорости налетающей частицы. Отметим, что налетающая
частица не может изменить направление своего движения на произвольный
угол. Существует максимальный угол Ртах- Отклониться больше,
I
Вопрос о том, что происходит в области столкновения частиц, нас не
интересует. Нам ватно знать лишь, на-кая существует связь характеристик
сталкивающихся частиц до и после столкновения.
278
Глава 9. СТОЛКНОВЕНИЯ
101.
Графическое решение задачи На столкновение двух частиц при т[Кт2
Под каким углом разлетаются после столкновения частицы одинаковой массы,
если до столкновения одна из них покоилась?
При каком условии угол разлета между частицами после упругого
столкновения заключен в пределах от 0 до л/21 Когда падающая на мишень
частица в результате упругого столкновения не может отклониться на любой
угол и когда может!
Какими факторами определяется величина переданной при упругом
столкновении энергии от движущейся частицы к мишени!
