Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
</> = I/.e'l'VEe-K
(7.14)
Статистическая сумма. Особенно большую роль играет среднее значение
энергии системы
<в> = ? '*"/? е" '*• = -8In z/г р, (7-15)
а а
где
(7.16)
называется статистической суммой. Она играет очень большую роль,
поскольку с ее помощью выражают многие важнейшие величины статистической
физики. Пример вычисления (7.16) рассмотрен в § 12.
Флуктуации. В канонической системе они легко вычисляются с помощью
формулы (7.14) для средних величин. Характер зависимости флуктуации от
размера системы был в общем случае выяснен в § 6.
Пример 7.1. Вычислить среднеквадратичные отклонения энергии от среднего
значения с помощью статистической суммы и найти относительную величину
флуктуаций. ._ ._ _
г 1Г "
- т- Да-
7" г -1 г -1 J
Поступая аналогично (7.15), находим <s2> = ^eje-*36* / ^е-*3^ = -
z ар
лее получаем
<(в-<8"2> = <82>-"8"2 =
1 d2Z
z ар2
1 dzx2 z ар
_д_(± dz \ _ а<8> ар I z ар ; ар
Считая, что энергия системы пропорциональна полному числу частиц 8 ~ п,
находим
<(8-(<8"2)
-11/2 д(е) 1,2 [
J = е2 ар 1
П
7?
1/2
1
]Г*
§ 8. Распределение Максвелла 65
9 pz
9. Система координат в странстве импульсов
§ 8 Распределение Максвелла
Указывается на два возможных подхода к изучению распределения частиц в
системе. Обсуждается плотность состояний. Анализируются основные
особенности распределения Максвелла и его связь с распределением Гаусса.
Рассматриваются вывод и условия применимости распределения Гаусса.
Описывается экспериментальная проверка распределения Максвелла
Обсуждается принцип детального равновесия.
Два подхода к изучению распределения. Рассмотрим распределение по
скоростям (и энергиям) частиц идеального газа. При этом можно поступить
двумя способами. Можно принять всю систему п частиц за каноническую
систему, являющуюся частью большой микроканониче-
ской системы. Но можно систему п частиц рассмотреть
Ру как совокупность независимых канонических систем, каждая из которых
содержит одну частицу. Именно такой канонический ансамбль подразумевался
в § 7 при анализе основных понятий, связанных с каноническими ансамблями.
При расчете по первому методу необходимо использовать довольно громоздкие
комбинаторные приемы, аналогичные тем, которые употреблялись в § 5. Здесь
будет использован второй подход, когда расчет основывается
непосредственно на формулах теории вероятностей и не приводит к
громоздким вычислениям.
Плотность состояний. Исходной является формула (7.5), в которой при
применении к одной частице означает вероятность ее нахождения в одном из
состояний с энергией 8". Как было уже отмечено раньше в связи с формулой
(4.1), одна частица занимает в пространстве координат-импульсов (фазовом
пространстве) объем (2л И)3. Тогда в фазовом объеме dx dy dz dpx dpy dpz
содержится число состояний одной частицы, равное
dr = dx dy dz dpx dpy dpz/(2nh)3. (8.1)
Следовательно, для вероятности нахождения частицы про- в фазовом объеме
аналогично (7.6) получим
d@- Ле~ре" dT. (8.2)
Для того чтобы перейти к вероятности для частицы иметь энергию 8а,
необходимо проинтегрировать (8.2) по всем элементам фазового объема,
которые соответствуют еа. В данном случае энергия 8 частицы от координат
не зависит и поэтому интегрирование по dx dy dz дает объем V, в котором
находится частица. Для интегрирования по
5 А. Н. Матвеев - 1488
66 1. Статистический метод
dpx dpy dp2 необходимо учесть, что энергия частицы = ту2 ^ ту2 ту2 ту2 =
р2 ( р2 р2 ^ р2 2 2 2 2 2т 2т 2т 2т '
(8.3)
где рх = mvx и т. д. Поверхностью состояний с постоянной энергией в
пространстве импульсов является сфера р2 = - const (рис. 9).
Интегрирование по шаровому слою толщины dp у поверхности, соответствующей
энергии в = = р2/(2т), эквивалентно замене dрх dру dpz = 4тир2 dp.
Поэтому вместо (8.1) можно написать F4кр2 dp V4jim3v2 dr
аг = ПшГ= (2,/"' ¦ (a4)
где v - р/т - переменная скорость, которая используется в качестве
независимой переменной при рассмотрении газов. Выражая также и энергию
через скорость по формуле са = mv2/2, окончательно (8.2) можно записать в
виде
V4(tm)3 - в(tm)*:
d&(v) = А з е~ pmt'2/2r2 dr, (8.5)
(2лп)
где d@(v) - вероятность того, что скорость частицы по абсолютному
значению заключена между г и г + dr. Постоянная А находится из условия
нормировки
V - со
J d^(r) = 1. (8.6)
d = 0
Задача сводится к вычислению
|.-Vd,.(X)"j.-.yds-(?)"от
о
где
о
Изменение энергии молекулы происходит при столкнове- Максвелл
ниях. Для конкретной молекулы вероятности приобрести
или потерять энергию при столкновениях не одинаковы. ' ~ '
Они зависят от соотношения между энергией молекулы и наиболее вероятной
энергией молекул газа. Если энергия молекулы меньше наиболее вероятной,
то больше шансов, что с течением времени в результате столкновений
молекула приобретет энергию, чем потеряет ее. Однако потеря энергии также
возможна. Если энергия молекулы больше наиболее вероятной, то больше
шансов, что с течением времени в результате столкновений молекула
