Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
(35)
причем использованы упрощенные ооозначения У {Rij)n,t = V {i, i, п, п\
j, j, t, t) =
= T S d"J l с1зГ'У* i (r') ^ i (r') ~[г -r' [ ^ ^,l' г (36)
и множитель 1/2 предотвращает удвоение результата. При больших
расстояниях главный член разложения этого интеграла
по мультиполям есть
(Ri;)n, t - Т7- 1 1Ф1, (37)
п-ij
и этот результат, по-видимому, достаточно точен, даже если атомы -
ближайшие соседи. (Для оценки внутриатомного интеграла
38с= S V (Rij)", (Щ, т [llj, t, m' - (F | Hj. ,, m- I -F)],
i, j, n, t m, m'
252
7. МАГНЕТИЗМ И МАГНОНЫ В МЕТАЛЛАХ
V (0)ni t приведенное выражение, однако, неприменимо. Хотя этот интеграл
может быть велик, он все же остается конечным.) Вычитание ряда членов в
(35) обеспечивает равенство нулю среднего значения
{F\SBe\F) = Q,
как и требовалось.
Следующим важным классом членов является обменное взаимо-действие,
которое определяется теми слагаемыми в выражении (31), для которых i = п'
= t и ?' = /, t' = п. Поскольку с*п-т и Cjnm антикоммутируют, то
перестановка этих двух операторов для надлежащего связывания в пары (так,
как указано выше) приводит к знаку минус. Это обычное обменное
взаимодействие, о котором неоднократно говорилось в этой книге, описанное
в операторных терминах. Оно является поправкой к кулоновскому
отталкиванию двух электронов в триплетном состоянии и понижает энергию
этого состояния по сравнению с синглетной конфигурацией. Группируя пары
ферми-операторов в спиновые, можно сгруппировать операторы так, чтобы
обеспечить естественное и очевидное обобщение обменного оператора
Бартлетта (1 + 4Sj-S;), включив зависимость от чисел заполнения,
характерную для вторичного квантования. Расположив индексы, как указано,
из выражения (31) извлекают обменный гамильтониан
¦$?О0м ' 2 ^ п' ; ¦ Sn>, ( -f- Пп, j
X
п, n'
i. j
(n, j)-(n', i)
x [nn-,i -(Flnn-.il^)]} ,
(38)
где
П", j - - It 71, j, | T ^71, j, i" (^^)
и операторы спина
Sp = у (rtpf np j ) = (cPt cp1' cp4 cju)'
. (40)
Sp = Srj-f- ?S;;, = c*|cpj и Sp - Sp-i5p = Cp|Cp|
рассматриваются как ферми-представление операторов спина 1/2 [здесь
принято Й -1, р = (п, /) и т. д.].
Постоянная обмена в упрощенном обозначении есть положительно определенный
интеграл:
3 (^1з)п, л' -- 2Р (?, /, п , п, j, i, п, п )
- ^ d3r jj с*зг'ф,* ,¦ (г') фп., i (г') ^ j ^
ОБМЕН В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ: УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН ^дфф 253
Наибольшим интегралом обмена является знакомый внутриатомный интеграл,
который встречался при рассмотрении правила Хунда; для него мы введем
особый символ
= J (0)", - ^d3r i(0 V, i(r)iki (г).
(42)
В большинстве случаев нет необходимости рассматривать какие-либо еще
члены, дающие вклад в обменное взаимодействие. Причина заключается в том,
что величина /(R^) убывает еще быстрее, чем кулоновский интеграл V(Rij),
так что когда выражение (42) не обращается в нуль в силу симметрии или по
какой-либо другой причине, то обмен за счет ближайших соседей
сравнительно мал, а вкладом более далеких соседей можно полностью
пренебречь. Ото можно было бы объяснить, если бы имелась только одна
зона: тогда два электрона могут быть в триплетном состоянии при условии,
что они локализованы на различных узлах (согласно функциям Ванье), и
главным был бы обменный интеграл для ближайших соседей.]
Введение обменных сил до некоторой степени произвольно, поэтому полезно
закончить этот раздел обзором того, что сделано. Один традиционный
подход, явно отброшенный,- это однозонное приближение свободных
электронов, согласно которому блохов-ские электроны взаимодействуют
только благодаря дальнему куло-новскому отталкиванию [см. (35)]. Когда в
свое время Блох впервые выдвинул эту идею [14], она могла показаться
правдоподобной, но перед лицом убедительных теоретических и
экспериментальных доказательств от нее пришлось отказаться. "... Это
обоснование магнетизма ... мы оставляем мотылькам и червям" [15].
Очевидно, эксперименты не могут опровергнуть правильной теории; тот факт,
что никогда не были обнаружены металлы с простыми невырожденными зонами,
обладающие, однако, сильными магнитными свойствами, должен был бы
стимулировать экспериментаторов на более тщательные поиски, если бы не
существовало более разумного совета, а именно аргументации Вигнера [16],
согласно которой корреляция между заряженными частицами стабилизирует
каждую из электронных конфигураций с параллельными и антипараллелъными
спинами (см. также гл. 1, стр. 49). Действительно, при достаточно сильном
кулоновском взаимодействии основное состояние должно быть синглетным, как
в молекуле водорода. Следовательно, ключ к пониманию магнитного поведения
должен быть в факте существования вырожденных зон-. то обстоятельство,
что подвижные электроны, имеющие заданную плотность состояний в зоне,
находятся у тех же пли у соседних атомов, означает, что они не могут
избежать кулоновского оттал-
254
7. МАГНЕТИЗМ И МАГНОНЫ В МЕТАЛЛАХ
кивания даже с помощыо тщательно продуманных сложных поправок. Дело в
