Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
непрерывного спектра (в пределе Lоо, естественно) даже в том случае,
когда они ограничены определенным полным импульсом.
В приближении свободных электронов Е (к) = к2 в соответствующих единицах,
в которых уровень Ферми равен к'у (- ц), а ферми-фон представлен в k-
пространстве сферой радиуса kF (фиг. 7.5), с равными нулю полным
импульсом, полным током и полным спином, элементарные возбуждения суть
с?+чСк ! 'Е), где к <CkF и | k + q | > &F, причем спиновые индексы
опущены. Даже если q фиксировано, имеется область непрерывного спектра
элементарных возбуждений, соответствующих всем возможным углам между к и
q. Значения энергии элементарных возбуждений ограничены двумя параболами
и горизонтальной
Фиг. 7.6. Область непрерывного спектра элементарных возбуждений для
вырожденного немагнитного газа невзаимодействующих электронов.
осью (фиг. 7.6). О влиянии зоны Бриллюэна и магнитного поля на спектр
элементарных возбуждений см. задачу 4.
Задача 4. а) Рассмотрите двойпой спектр элементарных возбуждений,
сопровождаемых переворотом спина = ck+ijf ck| I Fh)' ck-fq| e.-f \
Fn)
для системы свободных электронов, спины которых взаимодействуют с
магнитным полем (например, с обменным полем), т. е. для которых ?m(k) = =
ka+ m\iBH, где т = ±1, функция Кн) описывает состояние ферми-вырождения,
соответствующее этой ситуации. Начертите области иепрерыв-
250
7. МАГНЕТИЗМ И МАГНОНЫ В МЕТАЛЛАХ
ного спектра, приняв за образец фиг. 7.6 и заметив, что, поскольку | FH)
- основное состояние, то необходимо, чтобы все энергии возбуждения были
положительными.
б) Пренебрегая спином (как в тексте), покажите эффекты, обязанные зоне
Бриллюэна, качественно начертив спектр элементарных возбуждений в случае
полузаполненноп s-зоны в простои кубической решетке. Обратите особое
внимание на процессы переброса (вектор к обязательно находится в первой
зоне Бриллюэна, а вектор к + q - нет) и на обрезание максимальных энергий
в спектре.
Помимо всех одночастичных потенциалов, гамильтониан зонной теории SB о
может включать усредненные эффекты двухчастичных сил. Посмотрим, к чему
это приведет в данном случае. В представлении Ванье наиболее общий вид
оператора двухчастичного взаимодействия есть
(31)
где соответствующий матричный элемент имеет вид
V (i, 7, п', п\ V, /' , t', t) = y ^ d3r ^ с?3г'ф*, ц (г') ф(, у
(г') х
X | г^г' j Фи*', i (г) фп, j (г)- (32)
Эти матричные элементы свяжут состояния, которые отличаются только
изменением квантовых чисел двух электронов, от ]пт и ]'1т,' к in'm и
i't'm' и т. д., и поскольку мы применили ортогональные функции Ванье, а
рассматриваем двухчастичный потенциал (описывающий физически наиболее
важное кулоновское отталкивание), то других матричных элементов нет и
полный гамильтониан состоит из SSnasm=SBo • Как установлено выше,
некоторые слагаемые из SB' могут быть введены в SB о! рассмотрим как один
из возможных примеров члены, где V = /' и t' = t:
[i П (i, /, п , п, i , i , t, I) Cin-mCjnm. (33)
Хотя множитель, на который умножается c*n-mCjnm, есть оператор, его
среднее значение в основном состоянии полезно для оценки его величины. Мы
можем ввести в SBо член &SBo'-
Ш0 = 2 6Я (Ri;)n, n-ctn-mcJnm, (34)
где
^Я (Rij)n, п' = S И (F | Iti'im- | F),
i*tmr
и вычесть его из SB'¦ Это один из методов, который уже использовался р
уравнении (1) и следующих за ним, когда было установлено, что F(r - R;)
есть усредненный потенциал ядра и всех электронов,
ОБМЕН В ТВЕРДЫХ. ТЕЛАХ: УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН 'Л?дфф 251
за исключением одного - рассматриваемого. Таким образом, подобная
процедура приводит в результате к тому, что остающаяся от 38' часть имеет
в основном состоянии среднее значение, равное нулю
(F\38' -{F\38'\F)\F) = 0.
Этот метод "перенормирует,? зонную структуру Еп (к) самосогласованным
образом. Заметим, что картина самосогласованной одноэлектронной зоны
дол;кна быть до некоторой степени изменена, если мы рассматриваем вместо
| F) такое состояние, как ферромагнитное, но возникшие при этом изменения
в нулевом приближении могут быть отброшены. Следовательно, мы можем
ввести эффективный гамильтониан 38 q, имеющий такие постоянные параметры,
которые учитывают априори все важные электрон-электронные взаимодействия
(в среднем), а также взаимодействие электронов с ядрами и их кинетическую
энергию. Из 38' для настоящего рассмотрения мы должны извлечь только
существенную часть двухчастичных членов. Рассматривая только те
взаимодействия, которые имеют наибольшее значение (когда атомы очень
далеко друг от друга - внутриатомные члены, когда они очень близки друг к
другу - кулоновское взаимодействие), можно извлечь из 38полн =38о --38'
физически наиболее важные свойства, обеспечив отправную точку для
будущего более последовательного рассмотрения.
Первым из взаимодействий, которое следует оставить, является истинное
двухчастичное кулоновское отталкивание, получаемое из 38', если положить
in = in и i't' = j't. После изменения немых индексов оно приобретает вид
