Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
открыл матрицы спинов [3], выяснение общих свойств симметрии
пространственных функций, соответствующих произвольному спину, ставило
много таких логических и практических проблем.
Выход из положения нашел Слэтер, предложивший записать волновую функцию
сложной системы с учетом спинов в виде детерминанта из электронных
волновых функций [4]. Спин наблюдаем и, следовательно, его можно включить
в аргументы электронных волновых функций в качестве дополнительной
"координаты" наряду с обычными координатами. Принцип Паули стало возможно
сформулировать следующим образом: "Волновая функция идентичных электронов
должна быть антисимметрична по отношению к обмену любых двух из них; это
означает взаимную перестановку одновременно пространственных и спиновых
координат двух электронов" в аргументах волновой функции.
Мы исследуем детерминанты Слэтера в надежде, что они прольют свет на
свойства молекул из двух или трех атомов водорода, изучавшихся нами до
сих пор. Может показаться, что мы повернули назад и спрашиваем, каким
пространственным функциям они соответствуют для различных спинов. Теперь
нам не будет трудно обнаружить или согласовать эти функции с принципом
антисимметризации (supra). Все это совершенно не похоже на запутанные
теории, имевшие хождение до открытия спина.
Затем мы применим эти знания и докажем совсем недавно опубликованную
теорему [51, полностью противоречащую правилу Хунда для атома; эта
теорема гласит, что состояние с наибольшей мультиплетностью лежит ниже
всех. К счастью, этот парадокс тоже скоро был устранен, так как было
найдено, что
ДЕТЕРМИНАНТЫ СЛЭТЕРА
117
теорема и правило имеют частично перекрывающиеся области применимости. В
ходе согласования противоречий с новых позиций была освещена теория
ферромагнетизма. Естественно, что в конце концов это приведет нас снова к
интересующей нас центральной проблеме -"обмену".
Для понимания этой главы существенно, чтобы читатель был знаков с
некоторыми обозначениями и теоремами по теории момента количества
движения, т. е. с тем, о чем сказано в нескольких первых разделах
предыдущей главы или в любом учебнике по квантовой теории.
ДЕТЕРМИНАНТЫ СЛЭТЕРА
Для разъяснения понятия "функции спина" неплохо бы проанализировать
гильбертово пространство обычных пространственных функций и выявить
подобие. Студент не удивится, что пространство и спин разбираются на
равных основаниях в волновой функции, записанной в виде детерминанта, и
поймет возможности и пределы такой формы записи. Для лучшего усвоения
понятия спина и спиновых координат читателю, возможно, понадобится
обратиться к гл. 3, в частности к первым пяти ее разделам [6].
Рассмотрим полный набор функций, допустив, что они орто-нормированы:
/|(0. МО fn(r), (1)
по ним может быть разложена произвольная функция g (г)
g (О = 2 gnfn (г) (2)
71
по аналогии с фурье-разложением. Коэффициенты разложения gn играют роль
коэффициентов Фурье (или фурье-преобразова-ний). Функция g (г) может быть
представлена в виде вектора в гильбертовом пространстве
g=(gu ¦ ¦ gn, ¦ • ¦)¦ (3)
Интеграл перекрытия
С^\ g*(r)h(r)dr (4)
в этом случае представляет собой скалярное произведение двух векторов
C=2tfnAn="g- h. (5)
п
Дальнейшее рассмотрение аналогии между обычными функциями и векторами
лучше перенести на математическую почву. Однако
заметим, что именно эта строгая аналогия и объединяет
матрич-
ную механику Гейзенберга с волновой механикой Шредингера.
118
4. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
В пространстве спиновых матриц Паули основными векторами являются спиноры
(1, 0) и (0, 1). (6)
Подобным же образом в функциональном гильбертовом пространстве базисными
векторами являются
(1, о 0...........0, ...) (0, 1, 0......0, ...) (7)
и т. д., как мы увидим, написав функции (1) в векторной
записи (3). Пространства, введенные выражениями (6) и
(7), могут
иметь различную размерность, но векторный анализ одинаков. Явное различие
между непрерывными и дискретными переменными по сути устраняется.
Однако с равным успехом можно вернуться назад и связать две
ортонормированные координатные функции (1) с двумя базисными спиновыми
векторами (6), например:
7+(|) с (1,0) спин "вверх" (8)
и
X- (Б) с (0, 1) спин "вниз". (9)
Функции х имеют свойства обычных функций. И даже если мы хотим, чтобы \
была дискретной переменной, принимающей два значения, мы можем позволить
себе рассматривать эти две функции как дельта-функции в определенном
смысле и тем самым формально сохранить аналогию с функциями fn(r).
Если затем функции fn(r) описывают одноэлектронные состояния, то функция,
описывающая, например, систему трех частиц, может быть записана в виде
произведения:
V (1, 2, 3) = [fj (г,) Xr (Ei)] [/* (ra) Xs (Б*)] [/" (га) Xt (Бз)],
(Ю)
где г, s, t принимают значение "-(-" или "-". Это произведение не
является разрешенной волновой функцией для идентичных частиц, так как
плотность вероятности
Р(1, 2, 3) sff (И)
не инвариантна по отношению к перестановкам трех частиц, за исключением
