Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
движения, подытоженная выражениями (40)- (43), может быть точно
воспроизведена с помощью только двух гармонических осцилляторов. Выгоды
велики, даже если не получатся новые результаты, особенно для больших
значений для которых матрицы момента количества движения велики и
громоздки. Применяя подход Швингера, можно изучать также новые свойства,
поскольку этот подход, устанавливая простую связь теории полей
гармонических осцилляторов с операторами момен-
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СПАРЕННЫХ БОЗОНОВ
103
тов количества движения, позволяет изучать достаточно сложные случаи,
которые при прямом подходе оказываются весьма запутанными. Обозначив два
осциллятора индексами 1 и 2, введем спинорные операторы Ш ингера:
= и (60)
это просто двухкомпонентные векторы, компоненты которых-операторы. Если,
кроме того, мы свяжем эти операторы со спиновыми матрицами Паули, то
получим искомое представление. Итак, пусть
/' = -| a+ trz-a = ~ (а*а, - а*а2) = А(П1 -ц2), и аналогично для других
компонент - в виде компактной формы
(61)
Если вместо а подставить единичный оператор, то результат назовем /-
оператором
j = y а+ а =у(а?а1 + а2а2) =у nt-f у п2. (62)
Можно проверить, что собственные значения этого оператора, как и следует,
равны / = 0, х/2, 1, 3/2, в то время как J* имеет собственные значения
й2/(/-)-1).
Задача 4. Покажите, что J+=1ia\az и /-=?lajaj. (Эти формулы и формулу в
тексте можно запомнить, связывая изменение Дт= + V2 с частицами типа 1, а
Дт = - !/2 с частицами типа 2.)
Задача 3. Докажите идентичность операторов J2 и 7ij (j + 1), т. е. что]
J2=fc2j (j + l).
Задача 6. Квантование электрических и магнитных полей световых волн есть
первый шаг в квантовой электродинамике. Допустим существование таких
гармонических осцилляторов. Пусть в операторах at, а* и а2, aj (для
собственных колебаний в виде плоских волн) индекс 1 относится к
электрическому полю, а индекс 2 - к магнитному. Используйте тот факт, что
каждое поле должно содержать половину нолной энергии, чтобы доказать, что
собственные значения / могут припимать только целочисленные значения,
показывая таким образом, что фотони.меет квантовый спин 1. Сравните с
выражениями (100) и (101) на стр. 113.
Нормированные собственные функции отдельного момента количества движения
с определенными собственными значениями т и / следует обозначить | jm);
они имеют следующий вид:
104 з. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Спаренные бозе-операторы более удобны, чем исходные операторы момента
количества движения. Так, мы можем использовать лишнюю степень свободы
для построения новых (так называемых гиперболических) операторов К+, К~,
Кг, которые сохраняют т, но изменяют (рождают или уничтожают) /:
K+ = Tia*a2, K~ = hazal и Kz = у (n4 -f n2-f 1)- (G4)
Они подчиняются следующим правилам коммутации:
[Kz, К+\ = ПК+, [КгК~\ = - пк-
и
[К\ К~\= ~2ПКг. (65)
Только по леднее равенство отличается знаком от правил коммутации
операторов момента количества движения. Можно проверить и следующие
соотношения:
(J2)2 - i- ft2 = (JP)2-j iK+K~ + K~^+), (66a)
= Kz(Kz-%)-K+K-, (666)
= KZ{KZ + Ti)-K~K+. (66b)
ВРАЩЕНИЯ
Изучение вращений систем координат и частиц теснейшим образом связано с
теорией момента количества движения. Например, если дана произвольная
функция / (ф) азимутального угла ф, то ее аргумент может быть увеличен на
угол а с помощью оператора дифференцирования
ea(d/dq>)f (ф) = ^ (ф -(- а).
Эта формула может быть проверена разложением обеих сторон в ряд Тэйлора
по степеням а. Оператор, который стоит в экспоненте, пропорционален L~.
Это один из трех дифференциальных операторов (или их линейная
комбинация); которые могут с помощью экспоненциального оператора описать
вращение системы координат. Наиболее общие вращения легко выражаются
тремя углами Эйлера а, Р и у. Они входят в унитарный оператор
D (сфу) = emVA)JZei(3/A>JV(Y/ft)J* = (Dt)_1. (67)
Мы пишем J вместо L, потому что вращения не ограничены целочисленными
моментами количества движения. Конечно, вращение на три угла Эйлера
эквивалентно одиночному вращению вокруг
ВРАЩЕНИЯ
105
соответствующим образом выбранной оси, направленной вдоль единичного
вектора й, и
D (сфу) = eia'" J (68)
при соответствующем угле а'. Таким образом, два или более
последовательных вращения могут быть выражены одним углом. Одно из
практических следствий этого равенства таково: результат вращения
выражается рядом по сферическим функциям (для целочисленных моментов
количества движения) и получается чрезвычайно полезная формула,
позволяющая выразить произведения сферических функций в виде линейных
комбинаций сферических функций, т. е.
Yiini (0, ф) уг2тг (0, ф) = 2 yi. - (0- ф) V{2\V(ll+\Jl) х
I, т
X | lJJm) (li 01г 0 | lil2l 0). (69)
Мы не будем здесь доказывать эту формулу, а только покажем, каким образом
вращения связаны с унитарными преобразованиями бозе-операторов.
Преобразование, которое переводит операторы а в их линейную комбинацию,
есть унитарное каноническое преобразование, если оно сохраняет бозевские
