Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
объяснены, а третье теперь можно использовать для построения ряда
функций, принадлежащих / = Д + h ~ 2. Эту процедуру можно продолжать до
тех пор, пока не будут исчерпаны все (2Д + 1) (2/2 + 1) состояния. Это
достигается при / = | Д - /2 |; эта величина, следовательно, есть
минимальное значение суммарного момента количества движения точно так же,
как Д + /2 - его максимальная величина. Доказательство этого так
называемого "неравенства треугольника" дано в задаче 2 и, кроме того,
ниже - с помощью операторного метода [см. неравенства (75) и (76)].
Задача 2. Доказав тождество h+h
2 (2/ +1) = (2/! + 1) (2/2+1),
7=\h-h\
покажите, что описанная в тексте методика действительно использует все
исходные функции.
Построив полный набор собственных функций J2 и Jz из набора собственных
функций и J\, можно в какой-то степени формализовать эту методику. Два
набора ортонормированных функций связаны каноническим (унитарным)
преобразованием, т. е.
мы можем выразить новые волновые функции | Д/г/иг) через
старые при помощи равенства:
|/i/2/(tm))= S 1 /i(tm)i/2(tm)2) (/i(tm)i/2(tm)21 /1/2/(tm)), (53)
mi, 7Ti2
в которых матричные элементы оператора преобразования
(/ 1(tm)т/2(tm)2 | /1/2/(tm)) (54)
являются коэффициентами векторного сложения, или коэффициентами Клебша -
Гордана. Частично симметризованная форма для этих коэффициентов впервые
была выведена Вигнером с использованием методов теории групп, а позднее
Рака и Швингеромх).
*) Ссылки на работу Вигнера и другие работы, а также подробные формулы
см. у Эдмондса [1].
7"
Таблица 3.2
Неисчезающие коэффициенты Клебша-Гордана для j2 = 1/г и 1
(am 1 -у7"2 1 31 Т,т)
1 1 т2-- -
... 1 , = ,1+Т л[ л+т+4-+ ^ 2/1 + 1 А 1 Л/ 1'-т + -2 ? 2/. + 1
. . 1 l=h-2 ]/ А-т+т 2/1 +1 l/"/1 + И + 4- + Y 2/j + l
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СПАРЕННЫХ БОЗОНОВ
101
(Далее в этой главе будет кратко описана предложенная Швинге-ром
операторная методика расчета момента количества движения.) Мы приводим
результат:
т X
у Г (2/Ч~1) (/1 -|- /2 - /)! (/1 - /гН~/)! (- /1+/2+/)! (/i+лм)! (/t -
т})1 (/2+^2)!
Л L (/1 + /2+/+1)!
X (h - m2)\ (7 + т)! (/ -т)! ]1/2х
X 2 (-(/1 + 7'2 - / - z)! {/1-т, -z)! {]2 + тг- z)\ X
В табл. 3.2 даны значения коэффициентов Клебша - Гордана для 7'2 = 1/2,
1, вычисленные с помощью этой формулы. В ядер-ной и атомной физике проще
оперировать с симметризованной формой этих коэффициентов с использованием
3/-символов Вигнера. Однако нет смысла приводить их здесь и мы
рекомендуем читателю обратиться к книге Эдмондса [1].
К вопросу о сложении моментов количества движения мы еще вернемся после
изложения операторной методики.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СПАРЕППЫХ БОЗОНОВ
В полуклассической теории магнетизма принято аппроксимировать громоздкие
операторы спинов или их матрицы с помощью операторов гармонических
осцилляторов, так как общая структура матриц спинов [см. (40)-(43)] во
многих отношениях напоминает структуру матриц операторов гармонических
осцилляторов. Отсутствие совпадения было доказано Швингером в его теории
момента количества движения, основанной на исследовании связанных полей
гармонических осцилляторов [5].
Хорошо известно, что для получения осцилляторных операторов "рождения" и
"уничтожения" а* и а нужно взять линейные комбинации оператора импульса и
оператора координаты, например:
Поясним основания для такого выбора. Соотношения коммутации, которые
могут быть выведены для операторов а, а*, это соотношения для бозонов
X (7 - /г + mj+z)! (7 -7'i -Wz + z)!]-1.
(55)
а'
\d\, Q,j\ - \(Х\ , CLj ] - 0, [fl;, dj ] - $ijt
(56)
102 3. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
где г, / относится к различным частицам. Из (56) можно
вывести
[itj, CLj] = $ijCLj [Hi" Q,j\ = ftijUj, (^)
для чего вводится пг = a*at - оператор числа занятых состоя-
ний, описывающий степень возбуждения i-ro гармонического осциллятора.
Можно построить полный набор состояний, пронумерованных по их собственным
значениям, введя впервые понятие "вакуума". "Вакуум" - это основное
состояние системы гармонических осцилляторов, состояние без частиц,
обозначаемое |0). Волновая функция | 0) при действии на нее любого
оператора уничтожения обращается в нуль:
10) = 0 для всех i. (58)
Ясно, что одночастичные состояния есть
а?|0),
а двухчастичные (нормированные) состояния имеют вид
<а*|0) или -^т=-|0)
и т. д. Общая формула для многочастичного нормированного состояния, как
доказано ниже в задаче 3, такова:
<'Т)И1(1)--.|П? (59)
"]! л2! ...
В этих состояниях операторы чисел занятых состояний диаго-нальны и имеют
положительные целочисленные собственные значения: nt = 0, 1, 2, . . .
Общее число занятых состояний определяется суммой собственных значений
2".-
Задача 3. Докажите, что состояние (59) нормировано. Вычислите (0 | . . .
(a2)712(a))ni(a:j')ni(a5)712 . . . | 0), используя только определение
вакуума (58) и соотношения коммутации (56) и (57). Покажите, что пг-
собственное значение оператора п;.
Швингер показал, что матричная структура для данного момента количества
